Theorem rerpdivcld 11903

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rerpdivcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rerpdivcl 11861	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℝcr 9935   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  iccf1o  12316  xov1plusxeqvd  12318  expmulnbnd  12996  discr  13001  geomulcvg  14607  mertenslem1  14616  retanhcl  14889  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  bitsmod  15158  odmodnn0  17959  nmoi  22532  nmoleub  22535  icopnfcnv  22741  nmoleub2lem  22914  nmoleub2lem3  22915  pjthlem1  23208  ovolscalem1  23281  ovolscalem2  23282  ovolsca  23283  mbfmulc2lem  23414  itg2const2  23508  dvferm1lem  23747  abelthlem7  24192  logdivlti  24366  logdivle  24368  logcnlem3  24390  logcnlem4  24391  advlogexp  24401  cxpaddle  24493  cxploglim  24704  cxploglim2  24705  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem3  24757  lgamucov  24764  ftalem1  24799  ftalem2  24800  basellem3  24809  fsumvma2  24939  chpval2  24943  chpchtsum  24944  chpub  24945  logfacrlim  24949  logexprlim  24950  efexple  25006  bposlem9  25017  chebbnd1lem2  25159  chebbnd1lem3  25160  chtppilim  25164  chpchtlim  25168  chpo1ubb  25170  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem2  25187  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  rplogsum  25216  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  log2sumbnd  25233  selberglem2  25235  selbergb  25238  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem1  25246  selberg3lem2  25247  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  pntrsumo1  25254  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1a  25274  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntibndlem3  25281  pntlemb  25286  pntlemg  25287  pntlemh  25288  pntlemn  25289  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296  pnt  25303  ostth2lem1  25307  ostth2lem4  25325  ostth3  25327  pjhthlem1  28250  esumcst  30125  dya2iocress  30336  dya2iocbrsiga  30337  dya2icobrsiga  30338  sxbrsigalem2  30348  probmeasb  30492  itg2addnclem3  33463  ftc1anclem7  33491  geomcau  33555  cntotbnd  33595  bfplem1  33621  binomcxplemnotnn0  38555  divlt0gt0d  39498  lefldiveq  39505  ltmod  39870  0ellimcdiv  39881  wallispilem5  40286  stirlingr  40307  dirkercncflem1  40320  fourierdlem65  40388  hoiqssbllem2  40837