Theorem itg2const2 23508

Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg2const2	|- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> ( ( vol ` A ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem itg2const2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 790	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> A e. dom vol )
2		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( vol ` A ) e. RR )
3		rpre 11839	. . . . . 6 |- ( B e. RR+ -> B e. RR )
4	3	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> B e. RR )
5		rpge0 11845	. . . . . 6 |- ( B e. RR+ -> 0 <_ B )
6	5	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> 0 <_ B )
7		elrege0 12278	. . . . 5 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
9		itg2const 23507	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) = ( B x. ( vol ` A ) ) )
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) = ( B x. ( vol ` A ) ) )
11	4, 2	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( B x. ( vol ` A ) ) e. RR )
12	10, 11	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( vol ` A ) e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR )
13		mblvol 23298	. . . 4 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
14	13	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
15		mblss 23299	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
16	15	ad3antrrr 766	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) -> A C_ RR )
17		peano2re 10209	. . . . . . . 8 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) e. RR )
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) e. RR )
19		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> B e. RR+ )
20	18, 19	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR )
21	20	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR )
22		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) -> ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) )
23		ovollecl 23251	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR /\ ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
24	16, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
25		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> A e. dom vol )
26	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR )
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR* )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR )
29	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ x e. RR ) -> B e. RR )
30	29	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ x e. RR ) -> B e. RR* )
31	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ B )
32		elxrge0 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) )
33	30, 31, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ x e. RR ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
34		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
35		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
36	33, 34, 35	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , B , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
40		itg2ge0 23502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> 0 <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) )
42	28, 41	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
43	42, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR+ )
44	43	rpge0d 11876	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> 0 <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> 0 <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) )
46	14	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol ` A ) <-> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) )
47	46	biimpar 502	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol ` A ) )
48		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
49		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
50		volf 23297	. . . . . . . . . . . . 13 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
51	50	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52	49, 51	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) e. RR* )
53	25, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> ( vol ` A ) e. RR* )
54		elicc1 12219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( vol ` A ) e. RR* ) -> ( ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. ( 0 [,] ( vol ` A ) ) <-> ( ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol ` A ) ) ) )
55	48, 53, 54	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> ( ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. ( 0 [,] ( vol ` A ) ) <-> ( ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR* /\ 0 <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol ` A ) ) ) )
56	27, 45, 47, 55	mpbir3and 1245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. ( 0 [,] ( vol ` A ) ) )
57		volivth 23375	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. dom vol /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. ( 0 [,] ( vol ` A ) ) ) -> E. z e. dom vol ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) )
58	25, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> E. z e. dom vol ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) )
59	58	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) -> E. z e. dom vol ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) )
60		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> z e. dom vol )
61		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) )
62	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR )
63	61, 62	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( vol ` z ) e. RR )
64	3	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> B e. RR )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> B e. RR )
66	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> B e. RR+ )
67	66	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> 0 <_ B )
68	65, 67, 7	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
69		itg2const 23507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. dom vol /\ ( vol ` z ) e. RR /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) ) = ( B x. ( vol ` z ) ) )
70	60, 63, 68, 69	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) ) = ( B x. ( vol ` z ) ) )
71	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( B x. ( vol ` z ) ) = ( B x. ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) )
72	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) e. CC )
73	64	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> B e. CC )
74		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR+ -> B =/= 0 )
75	74	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> B =/= 0 )
76	72, 73, 75	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( B x. ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( B x. ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) )
78	70, 71, 77	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) )
79	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> B e. RR )
80	79	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> B e. RR* )
81	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> 0 <_ B )
82	80, 81, 32	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
83		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( x e. z , B , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84	82, 34, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> if ( x e. z , B , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. z , B , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) )
87	85, 86	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
88	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
89	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
90		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) )
91		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) -> z C_ A )
92	79	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ x e. z ) -> B e. RR )
93	92	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ x e. z ) -> B <_ B )
94		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. z -> if ( x e. z , B , 0 ) = B )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ x e. z ) -> if ( x e. z , B , 0 ) = B )
96		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) -> z C_ A )
97	96	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ x e. z ) -> x e. A )
98	97	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ x e. z ) -> if ( x e. A , B , 0 ) = B )
99	93, 95, 98	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ x e. z ) -> if ( x e. z , B , 0 ) <_ if ( x e. A , B , 0 ) )
100		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. x e. z -> if ( x e. z , B , 0 ) = 0 )
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. z ) -> if ( x e. z , B , 0 ) = 0 )
102		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ 0
103		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B = if ( x e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ B <-> 0 <_ if ( x e. A , B , 0 ) ) )
104		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 = if ( x e. A , B , 0 ) -> ( 0 <_ 0 <-> 0 <_ if ( x e. A , B , 0 ) ) )
105	103, 104	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 <_ B /\ 0 <_ 0 ) -> 0 <_ if ( x e. A , B , 0 ) )
106	81, 102, 105	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> 0 <_ if ( x e. A , B , 0 ) )
107	106	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. z ) -> 0 <_ if ( x e. A , B , 0 ) )
108	101, 107	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. z ) -> if ( x e. z , B , 0 ) <_ if ( x e. A , B , 0 ) )
109	99, 108	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. z , B , 0 ) <_ if ( x e. A , B , 0 ) )
110	109	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) -> A. x e. RR if ( x e. z , B , 0 ) <_ if ( x e. A , B , 0 ) )
111		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
112	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> RR e. _V )
113		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) )
114		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) )
115	112, 85, 36, 113, 114	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) <-> A. x e. RR if ( x e. z , B , 0 ) <_ if ( x e. A , B , 0 ) ) )
116	115	biimpar 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ A. x e. RR if ( x e. z , B , 0 ) <_ if ( x e. A , B , 0 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) )
117	110, 116	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ z C_ A ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) )
118	90, 91, 117	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) )
119		itg2le 23506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) )
120	88, 89, 118, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. z , B , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) )
121	78, 120	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) )
122		ltp1 10861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) < ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) )
123	122	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) < ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) )
124		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR )
125	17	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) e. RR )
126	124, 125	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) < ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) <-> -. ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) ) )
127	123, 126	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> -. ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) )
128	121, 127	pm2.21dd 186	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( z e. dom vol /\ ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
129	128	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( E. z e. dom vol ( z C_ A /\ ( vol ` z ) = ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR ) )
130	59, 129	syld 47	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) -> ( vol* ` A ) e. RR ) )
131	130	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
132	52	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( vol ` A ) e. RR* )
133	14, 132	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` A ) e. RR* )
134	20	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR* )
135		xrletri 11984	. . . . 5 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR* /\ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) e. RR* ) -> ( ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) \/ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) )
136	133, 134, 135	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( ( vol* ` A ) <_ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) \/ ( ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) + 1 ) / B ) <_ ( vol* ` A ) ) )
137	24, 131, 136	mpjaodan 827	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
138	14, 137	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) -> ( vol ` A ) e. RR )
139	12, 138	impbida 877	1 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR+ ) -> ( ( vol ` A ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , B , 0 ) ) ) e. RR ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   volcvol 23232   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2gt0  23527