Theorem lcmgcdlem 15319

Description: Lemma for lcmgcd 15320 and lcmdvds 15321. Prove them for positive 𝑀, 𝑁, and 𝐾. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmgcdlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))

Proof of Theorem lcmgcdlem

Dummy variables 𝑥 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmulcl 11043	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ)
2	1	nnred 11035	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℝ)
3		nnz 11399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	zred 11482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
6		nnz 11399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	zred 11482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
9		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
10		nnre 11027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
11		nngt0 11049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
12	9, 10, 11	ltled 10185	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
13	12	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑀)
14		0red 10041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
15		nnre 11027	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		nngt0 11049	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
17	14, 15, 16	ltled 10185	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
18	17	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑁)
19	5, 8, 13, 18	mulge0d 10604	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 · 𝑁))
20	2, 19	absidd 14161	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (abs‘(𝑀 · 𝑁)) = (𝑀 · 𝑁))
21	3, 6	anim12i 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22		nnne0 11053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
23	22	neneqd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 = 0)
24		nnne0 11053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
25	24	neneqd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 = 0)
26	23, 25	anim12i 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
27		ioran 511	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑁 = 0))
28	26, 27	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29		lcmn0val 15308	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
30	21, 28, 29	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) = inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ))
31		ltso 10118	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → < Or ℝ)
33		gcddvds 15225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
34	33	simpld 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
35		gcdcl 15228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
37		dvdsmultr1 15019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
38	37	3expb 1266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
39	36, 38	mpancom 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
40	34, 39	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
41	21, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁))
42		gcdnncl 15229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ)
43		nndivdvds 14989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
44	1, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ))
45	41, 44	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℕ)
46	45	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ)
47		breq2 4657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
48		breq2 4657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
49	47, 48	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))))
50	33	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
51	21, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
52	21, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ)
53	42	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
54		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
55	52, 53, 7, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
56	51, 55	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
57		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
58	4, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
59		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
61		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
63	42	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
64	60, 62, 63, 53	divassd 10836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 · (𝑁 / (𝑀 gcd 𝑁))))
65	58, 64	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
66	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀)
67		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
68	52, 53, 4, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ))
69	66, 68	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
70		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
71	7, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
72	60, 62	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁)))
74	62, 60, 63, 53	divassd 10836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 · 𝑀) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
75	73, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑁 · (𝑀 / (𝑀 gcd 𝑁))))
76	71, 75	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
77	65, 76	jca 554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ 𝑁 ∥ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))))
78	49, 45, 77	elrabd 3365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)})
79	46	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℝ)
80		elrabi 3359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} → 𝑛 ∈ ℕ)
81	80	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} → 𝑛 ∈ ℝ)
82	81	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → 𝑛 ∈ ℝ)
83		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑀 ∥ 𝑥 ↔ 𝑀 ∥ 𝑛))
84		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ 𝑛))
85	83, 84	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥) ↔ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
86	85	elrab 3363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)} ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)))
87		bezout 15260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
88	21, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)))
90		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
91	90	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
92	1	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
94	63	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℂ)
95	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
96	61	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
97	22	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0)
98	24	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0)
99	95, 96, 97, 98	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
100	53	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 gcd 𝑁) ≠ 0)
101	91, 93, 94, 99, 100	divdiv2d 10833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)))
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)))
103		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))))
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)))
105		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
106	105	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
107	95, 106	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑥) ∈ ℂ)
108		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
109	108	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
110	96, 109	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 · 𝑦) ∈ ℂ)
111	91, 107, 110	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) = ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))))
112	111	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)))
113	91, 107	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) ∈ ℂ)
114	91, 110	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) ∈ ℂ)
115	113, 114, 93, 99	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) + (𝑛 · (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
116	112, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
117	104, 116	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑛 · (𝑀 gcd 𝑁)) / (𝑀 · 𝑁)) = (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))))
118	91, 95, 106	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) = (𝑀 · (𝑛 · 𝑥)))
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)))
120	91, 106	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℂ)
121	120, 96, 95, 98, 97	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · (𝑛 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁))
122	119, 121	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁))
123	91, 96, 109	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) = (𝑁 · (𝑛 · 𝑦)))
124	123	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)))
125	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 · 𝑁) = (𝑁 · 𝑀))
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀)))
127	91, 109	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℂ)
128	127, 95, 96, 97, 98	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 · (𝑛 · 𝑦)) / (𝑁 · 𝑀)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))
129	124, 126, 128	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁)) = ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))
130	122, 129	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · (𝑀 · 𝑥)) / (𝑀 · 𝑁)) + ((𝑛 · (𝑁 · 𝑦)) / (𝑀 · 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
132	102, 117, 131	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
133	132	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))))
134	133	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀))))
135	134	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) = (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)))
136	6	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
137		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
138	137	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
139		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
140		dvdsmultr1 15019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥)))
141	136, 138, 139, 140	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑛 → 𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥)))
142	138, 139	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ)
143		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
144	136, 98, 142, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ (𝑛 · 𝑥) ↔ ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
145	141, 144	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∥ 𝑛 → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
146	145	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ))
147	146	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → ((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) ∈ ℤ)
148	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
149		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
150		dvdsmultr1 15019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦)))
151	148, 138, 149, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑛 → 𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦)))
152	138, 149	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ)
153		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (𝑛 · 𝑦) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
154	148, 97, 152, 153	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ (𝑛 · 𝑦) ↔ ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
155	151, 154	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑀 ∥ 𝑛 → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
156	155	adantrd 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ))
157	156	3impia 1261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀) ∈ ℤ)
158	147, 157	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
159	158	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ))
160	159	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ))
161	160	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
162	161	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑛 · 𝑥) / 𝑁) + ((𝑛 · 𝑦) / 𝑀)) ∈ ℤ)
164	135, 163	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ)
165	45	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
166	165	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
167	1	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
168	92, 63, 167, 53	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0)
169	168	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0)
170	138	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℤ)
171		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
172	166, 169, 170, 171	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑛 / ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁))) ∈ ℤ))
174	164, 173	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
175	174	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
176	175	reximdvva 3019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑀 gcd 𝑁) = ((𝑀 · 𝑥) + (𝑁 · 𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
177	89, 176	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
178		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
179		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℤ → ℤ ≠ ∅)
180		r19.9rzv 4065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ ≠ ∅ → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
181	178, 179, 180	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
182		r19.9rzv 4065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℤ ≠ ∅ → (∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛))
183	178, 179, 182	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
184	181, 183	bitri 264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
185	177, 184	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛)
186	165	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ)
187		simprl 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
188		dvdsle 15032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛))
189	186, 187, 188	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛))
190	185, 189	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)
191	86, 190	sylan2b 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ≤ 𝑛)
192	79, 82, 191	lensymd 10188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}) → ¬ 𝑛 < ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
193	32, 46, 78, 192	infmin 8400	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → inf({𝑥 ∈ ℕ ∣ (𝑀 ∥ 𝑥 ∧ 𝑁 ∥ 𝑥)}, ℝ, < ) = ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)))
194	30, 193	eqtr2d 2657	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
195	194, 45	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ)
196	195	nncnd 11036	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℂ)
197	92, 196, 63, 53	divmul3d 10835	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁))))
198	194, 197	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)))
199	20, 198	eqtr2d 2657	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)))
200		simprl 794	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℕ)
201		eleq1 2689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝐾 ∈ ℕ))
202		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑀 ∥ 𝑛 ↔ 𝑀 ∥ 𝐾))
203		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (𝑁 ∥ 𝑛 ↔ 𝑁 ∥ 𝐾))
204	202, 203	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
205	201, 204	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))))
206	205	anbi2d 740	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))))
207		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
208	206, 207	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝐾 → ((((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛) ↔ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
209	194	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
210	209	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (((𝑀 · 𝑁) / (𝑀 gcd 𝑁)) ∥ 𝑛 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛))
211	185, 210	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝑛 ∧ 𝑁 ∥ 𝑛))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝑛)
212	208, 211	vtoclg 3266	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
213	200, 212	mpcom 38	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾))) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)
214	213	ex 450	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
215	199, 214	jca 554	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 lcm 𝑁) · (𝑀 gcd 𝑁)) = (abs‘(𝑀 · 𝑁)) ∧ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  {crab 2916  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   Or wor 5034  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℤcz 11377  abscabs 13974   ∥ cdvds 14983   gcd cgcd 15216   lcm clcm 15301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303

This theorem is referenced by:  lcmgcd  15320  lcmdvds  15321