Theorem mulne0d 10679

Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msq0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mul0ord.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
mulne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem mulne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
2		mulne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
3		msq0d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		mul0ord.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	3, 4	mulne0bd 10678	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) ≠ 0))
6	1, 2, 5	mpbi2and 956	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   · cmul 9941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  divdivdiv  10726  absrpcl  14028  prodfn0  14626  ntrivcvgmullem  14633  fprodn0f  14722  tanval3  14864  tanaddlem  14896  tanadd  14897  lcmgcdlem  15319  pcqmul  15558  abvdom  18838  itg1mulc  23471  dgrmul  24026  aalioulem4  24090  taylthlem2  24128  tanarg  24365  mulcxp  24431  cxpmul2  24435  relogbmul  24515  angcan  24532  ssscongptld  24552  chordthmlem2  24560  quad2  24566  dcubic2  24571  dcubic  24573  mcubic  24574  cubic2  24575  cubic  24576  lgamgulmlem2  24756  lgsdilem2  25058  lgsdi  25059  pntrlog2bndlem2  25267  padicabv  25319  ttgcontlem1  25765  qqhghm  30032  qqhrhm  30033  itgexpif  30684  knoppndvlem1  32503  knoppndvlem2  32504  knoppndvlem7  32509  knoppndvlem14  32516  knoppndvlem16  32518  itg2addnclem  33461  areacirclem1  33500  radcnvrat  38513  divcan8d  39527  mccllem  39829  clim1fr1  39833  reclimc  39885  dvdivcncf  40142  stoweidlem1  40218  wallispilem4  40285  wallispilem5  40286  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  wallispi2  40290  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem10  40300  stirlinglem12  40302  stirlinglem13  40303  stirlinglem14  40304  stirlinglem15  40305  dirker2re  40309  dirkerdenne0  40310  dirkerval2  40311  dirkerre  40312  dirkertrigeqlem2  40316  dirkertrigeqlem3  40317  dirkertrigeq  40318  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem43  40367  fourierdlem57  40380  fourierdlem58  40381  fourierdlem62  40385  fourierdlem66  40389  fourierdlem68  40391  fourierdlem72  40395  fourierdlem76  40399  fourierdlem78  40401  fourierdlem80  40403  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierswlem  40447  fouriersw  40448  sigardiv  41050  cevathlem1  41056