Theorem matassa 20250

Description: Existence of the matrix algebra, see also the statement in [Lang] p. 505:"Then Mat_n(R) is an algebra over R" . (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matassa.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matassa	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)

Proof of Theorem matassa

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matassa.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	matbas2 20227	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
4	1	matsca2 20226	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
5		eqidd 2623	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqidd 2623	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
7		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
8	1, 7	matmulr 20244	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (.r‘𝐴))
9		crngring 18558	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
10	1	matlmod 20235	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
11	9, 10	sylan2 491	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ LMod)
12	1	matring 20249	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
13	9, 12	sylan2 491	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ Ring)
14		simpr 477	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ CRing)
15	9	ad2antlr 763	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ Ring)
16		simpll 790	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑁 ∈ Fin)
17		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18		simpr1 1067	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
19		simpr2 1068	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
20		simpr3 1069	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
21	2, 15, 7, 16, 16, 16, 17, 18, 19, 20	mamuvs1 20211	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
22	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
23	19, 22	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
24		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
25		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
26		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 × 𝑁) = (𝑁 × 𝑁)
27	1, 24, 2, 25, 17, 26	matvsca2 20234	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑦))
28	18, 23, 27	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑦))
29	28	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = ((((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧))
30	2, 15, 7, 16, 16, 16, 19, 20	mamucl 20207	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))
31	30, 22	eleqtrd 2703	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴))
32	1, 24, 2, 25, 17, 26	matvsca2 20234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
33	18, 31, 32	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
34	21, 29, 33	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦)(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
35		simplr 792	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑅 ∈ CRing)
36	35, 2, 17, 7, 16, 16, 16, 19, 18, 20	mamuvs2 20212	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑧)) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
37	20, 22	eleqtrd 2703	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐴))
38	1, 24, 2, 25, 17, 26	matvsca2 20234	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑧))
39	18, 37, 38	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧) = (((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑧))
40	39	oveq2d 6666	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧)) = (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(((𝑁 × 𝑁) × {𝑥}) ∘𝑓 (.r‘𝑅)𝑧)))
41	36, 40, 33	3eqtr4d 2666	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)))) → (𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)(𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑧)) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)(𝑦(𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)𝑧)))
42	3, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 14, 34, 41	isassad 19323	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐴 ∈ AssAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {csn 4177  ⟨cotp 4185   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   ·_𝑠 cvsca 15945  Ringcrg 18547  CRingccrg 18548  LModclmod 18863  AssAlgcasa 19309   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  matinv  20483  cpmadugsumlemB  20679  cpmadugsumlemC  20680  cayhamlem2  20689