Theorem mbfmulc2 23430

Description: A complex constant times a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmulc2.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mbfmulc2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
mbfmulc2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfmulc2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem mbfmulc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmulc2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
2		mbfmulc2.2	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
3	1, 2	mbfdm2 23405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
4		mbfmulc2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
5	4	recld 13934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
7	6	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℂ)
8	1, 2	mbfmptcl 23404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	recld 13934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
11	7, 10	mulcld 10060	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
12		ovexd 6680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
13		fconstmpt 5163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶))
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐶)))
15		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))
16	3, 6, 9, 14, 15	offval2 6914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
17	4	imcld 13935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
18	17	renegcld 10457	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -(ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
20	8	imcld 13935	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
21		fconstmpt 5163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶))
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -(ℑ‘𝐶)))
23		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))
24	3, 19, 20, 22, 23	offval2 6914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
25	3, 11, 12, 16, 24	offval2 6914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))))
26	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℝ)
27	26	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐶) ∈ ℂ)
28	20	recnd 10068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
29	27, 28	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
30	11, 29	negsubd 10398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
31	27, 28	mulneg1d 10483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))
32	31	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + -((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
33	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
34	33, 8	remuld 13958	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) − ((ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
35	30, 32, 34	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))) = (ℜ‘(𝐶 · 𝐵)))
36	35	mpteq2dva 4744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) + (-(ℑ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
37	25, 36	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))))
38	8	ismbfcn2 23406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)))
39	1, 38	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn))
40	39	simpld 475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) ∈ MblFn)
41		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))
42	10, 41	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
43	40, 5, 42	mbfmulc2re 23415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
44	39	simprd 479	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) ∈ MblFn)
45		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))
46	28, 45	fmptd 6385	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)):𝐴⟶ℂ)
47	44, 18, 46	mbfmulc2re 23415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
48	43, 47	mbfadd 23428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {-(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
49	37, 48	eqeltrrd 2702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
50		ovexd 6680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) ∈ V)
51		ovexd 6680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)) ∈ V)
52	3, 6, 20, 14, 23	offval2 6914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵))))
53		fconstmpt 5163	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶))
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐶)))
55	3, 26, 9, 54, 15	offval2 6914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
56	3, 50, 51, 52, 55	offval2 6914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
57	33, 8	immuld 13959	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐶 · 𝐵)) = (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵))))
58	57	mpteq2dva 4744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((ℜ‘𝐶) · (ℑ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐶) · (ℜ‘𝐵)))))
59	56, 58	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))))
60	44, 5, 46	mbfmulc2re 23415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∈ MblFn)
61	40, 17, 42	mbfmulc2re 23415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵))) ∈ MblFn)
62	60, 61	mbfadd 23428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 × {(ℜ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘𝐵))) ∘𝑓 + ((𝐴 × {(ℑ‘𝐶)}) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘𝐵)))) ∈ MblFn)
63	59, 62	eqeltrrd 2702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)
64	33, 8	mulcld 10060	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ)
65	64	ismbfcn2 23406	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐶 · 𝐵))) ∈ MblFn)))
66	49, 63, 65	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  {csn 4177   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  -cneg 10267  ℜcre 13837  ℑcim 13838  volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  iblmulc2  23597