ioorcl2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ioorcl2		Structured version Visualization version GIF version

Theorem ioorcl2 23340

Description: An open interval with finite volume has real endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ioorcl2	⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Proof of Theorem ioorcl2 Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . 3 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2		elioore 12205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
3	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
4		peano2re 10209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℝ)
6	3, 5	resubcld 10458	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
7	6	rexrd 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
8		eliooxr 12232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
10	9	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ^)
11	3	rexrd 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ^)
12		ltp1 10861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
14		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
15		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
16		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
17		ovolge0 23249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
19		lep1 10862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ≤ ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
21	14, 15, 5, 18, 20	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
22	3, 5	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧))
23	21, 22	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧)
24		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝑧) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
25	6, 3, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
26	3	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
27	5	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ∈ ℂ)
28	26, 27	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
29	25, 28	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
31		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
32	10, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝑧))
33	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ^)
34		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝐵))
36	35	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 < 𝐵)
37		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑧 < 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝐵))
38	11, 33, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝐵 → 𝑧 ≤ 𝐵))
39	36, 38	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ 𝐵)
40		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ≤ 𝐵) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
41	33, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (𝐴(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
43	32, 42	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
44		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
45	43, 16, 44	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))(,)𝑧)) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
46	30, 45	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
47	46	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
48		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
49	10, 7, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ↔ ¬ (𝑧 − ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴))
50	5, 15	lenltd 10183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ↔ ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
51	47, 49, 50	3imtr3d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
52	13, 51	mt4d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴)
53	35	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 < 𝑧)
54		xrre2 12001	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^ ∧ 𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) ∧ ((𝑧 − ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑧)) → 𝐴 ∈ ℝ)
55	7, 10, 11, 52, 53, 54	syl32anc 1334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
56	3, 5	readdcld 10069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ)
57	56	rexrd 10089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^*)
58	3, 5	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (0 ≤ ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ↔ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
59	21, 58	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
60		ovolioo 23336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
61	3, 56, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧))
62	26, 27	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) − 𝑧) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
63	61, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) = ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))
65		iooss2 12211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
66	33, 65	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝑧(,)𝐵))
67		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑧 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
68	10, 11, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝑧 → 𝐴 ≤ 𝑧))
69	53, 68	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝑧)
70		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝑧) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
71	10, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
73	66, 72	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (𝑧(,)(𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
74		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
75	73, 16, 74	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → (vol‘(𝑧(,)(𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) ≤ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)))
76	64, 75	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵) → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
77	76	ex 450	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 → ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1) ≤ (vol‘(𝐴(,)𝐵))))
78		xrlenlt 10103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
79	57, 33, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1))))
80	77, 79, 50	3imtr3d 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) → ¬ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) < ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
81	13, 80	mt4d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 < (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))
82		xrre2 12001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ (𝑧 + ((vol‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)) ∈ ℝ^) ∧ (𝑧 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑧 + ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
83	11, 33, 57, 36, 81, 82	syl32anc 1334	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
84	55, 83	jca 554	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
85	84	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
86	85	exlimiv 1858	. . 3 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
87	1, 86	sylbi 207	. 2 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ → ((vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)))
88	87	imp 445	1 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ≠ ∅ ∧ (vol*‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∃wex 1704 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 (,)cioo 12175 vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234

This theorem is referenced by: ioorcl 23345

W3C validator