Theorem op2nd 7177

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndval 7171	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op2nda 5620	. 2 ⊢ ∪ ran {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐵
5	1, 4	eqtri 2644	1 ⊢ (2nd ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐵

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  {csn 4177  ⟨cop 4183  ∪ cuni 4436  ran crn 5115  ‘cfv 5888  2^nd c2nd 7167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-2nd 7169

This theorem is referenced by:  op2ndd  7179  op2ndg  7181  2ndval2  7186  fo2ndres  7193  eloprabi  7232  fo2ndf  7284  f1o2ndf1  7285  seqomlem1  7545  seqomlem2  7546  xpmapenlem  8127  fseqenlem2  8848  axdc4lem  9277  iunfo  9361  archnq  9802  om2uzrdg  12755  uzrdgsuci  12759  fsum2dlem  14501  fprod2dlem  14710  ruclem8  14966  ruclem11  14969  eucalglt  15298  idfu2nd  16537  idfucl  16541  cofu2nd  16545  cofucl  16548  xpccatid  16828  prf2nd  16845  curf2ndf  16887  yonedalem22  16918  gaid  17732  2ndcctbss  21258  upxp  21426  uptx  21428  txkgen  21455  cnheiborlem  22753  ovollb2lem  23256  ovolctb  23258  ovoliunlem2  23271  ovolshftlem1  23277  ovolscalem1  23281  ovolicc1  23284  wlkpwwlkf1ouspgr  26765  wlknwwlksnsur  26776  wlkwwlksur  26783  clwlksfoclwwlk  26963  ex-2nd  27302  cnnvs  27535  cnnvnm  27536  h2hsm  27832  h2hnm  27833  hhsssm  28115  hhssnm  28116  aciunf1lem  29462  eulerpartlemgvv  30438  eulerpartlemgh  30440  msubff1  31453  msubvrs  31457  br2ndeq  31671  poimirlem17  33426  heiborlem7  33616  heiborlem8  33617  dvhvaddass  36386  dvhlveclem  36397  diblss  36459  pellexlem5  37397  pellex  37399  dvnprodlem1  40161  hoicvr  40762  hoicvrrex  40770  ovn0lem  40779  ovnhoilem1  40815  ovnlecvr2  40824  ovolval5lem2  40867