Theorem pcpremul 15548

Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of 𝑃 is essential for this property; (4 pCnt 2) = 0 but (4 pCnt (2 · 2)) = 1 ≠ 2 · (4 pCnt 2) = 0. Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ℚ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcpremul.1	⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
pcpremul.2	⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
pcpremul.3	⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
pcpremul	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑛)

Proof of Theorem pcpremul

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 15408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
3		zmulcl 11426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
4	3	ad2ant2r 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ)
6		zcn 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
7	6	anim1i 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
8		zcn 11382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
9	8	anim1i 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
10		mulne0 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
11	7, 9, 10	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
12	11	3adant1 1079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)
13		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
14	13	pclem 15543	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥))
15	2, 5, 12, 14	syl12anc 1324	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥))
16	15	simp1d 1073	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ)
17	15	simp3d 1075	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥)
18		simp2l 1087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
19		simp2r 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ≠ 0)
20		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}
21		pcpremul.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑀}, ℝ, < )
22	20, 21	pcprecl 15544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
23	2, 18, 19, 22	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀))
24	23	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
25		simp3l 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
26		simp3r 1090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ≠ 0)
27		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}
28		pcpremul.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ 𝑁}, ℝ, < )
29	27, 28	pcprecl 15544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
30	2, 25, 26, 29	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑇 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁))
31	30	simpld 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑇 ∈ ℕ0)
32	24, 31	nn0addcld 11355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0)
33		prmnn 15388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
34	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℕ)
35	34	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
36	35, 31, 24	expaddd 13010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) = ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)))
37	23	simprd 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀)
38	34, 24	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℤ)
40	34, 31	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℕ)
41	40	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ)
42		dvdsmulc 15009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
43	39, 18, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇))))
44	37, 43	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
45	36, 44	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)))
46	30	simprd 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁)
47		dvdscmul 15008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
48	41, 25, 18, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
49	46, 48	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
50	34, 32	nnexpcld 13030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℕ)
51	50	nnzd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ)
52	18, 41	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
53		dvdstr 15018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∧ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
54	51, 52, 5, 53	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∧ (𝑀 · (𝑃↑𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
55	45, 49, 54	mp2and 715	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁))
56		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))
57	56	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑆 + 𝑇) → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
58	57	elrab 3363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ↔ ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
59	32, 55, 58	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
60		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝑃↑𝑥) = (𝑃↑𝑛))
61	60	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
62	61	cbvrabv 3199	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑥) ∥ (𝑀 · 𝑁)} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}
63	59, 62	syl6eleq 2711	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)})
64		suprzub 11779	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}𝑦 ≤ 𝑥 ∧ (𝑆 + 𝑇) ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
65	16, 17, 63, 64	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < ))
66		pcpremul.3	. . 3 ⊢ 𝑈 = sup({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃↑𝑛) ∥ (𝑀 · 𝑁)}, ℝ, < )
67	65, 66	syl6breqr 4695	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈)
68	20, 21	pcprendvds2 15546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
69	2, 18, 19, 68	syl12anc 1324	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)))
70	27, 28	pcprendvds2 15546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
71	2, 25, 26, 70	syl12anc 1324	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))
72		ioran 511	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (¬ 𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∧ ¬ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
73	69, 71, 72	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
74		simp1 1061	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℙ)
75	38	nnne0d 11065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ≠ 0)
76		dvdsval2 14986	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑆) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑆) ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
77	39, 75, 18, 76	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑆) ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ))
78	37, 77	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ)
79	40	nnne0d 11065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ≠ 0)
80		dvdsval2 14986	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃↑𝑇) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
81	41, 79, 25, 80	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑𝑇) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ))
82	46, 81	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ)
83		euclemma 15425	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
84	74, 78, 82, 83	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ↔ (𝑃 ∥ (𝑀 / (𝑃↑𝑆)) ∨ 𝑃 ∥ (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
85	73, 84	mtbird 315	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
86	13, 66	pcprecl 15544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
87	2, 5, 12, 86	syl12anc 1324	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
88	87	simpld 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℕ0)
89		nn0ltp1le 11435	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ ℕ0) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
90	32, 88, 89	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
91	34	nnzd 11481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℤ)
92		peano2nn0 11333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 + 𝑇) ∈ ℕ0 → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
93	32, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0)
94		dvdsexp 15049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1))) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈))
95	94	3expia 1267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℕ0) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
96	91, 93, 95	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈)))
97	87	simprd 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁))
98	34, 93	nnexpcld 13030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℕ)
99	98	nnzd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ)
100	34, 88	nnexpcld 13030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℕ)
101	100	nnzd 11481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ)
102		dvdstr 15018	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑𝑈) ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑁) ∈ ℤ) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
103	99, 101, 5, 102	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) ∧ (𝑃↑𝑈) ∥ (𝑀 · 𝑁)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
104	97, 103	mpan2d 710	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑃↑𝑈) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
105	96, 104	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁)))
106	93	nn0zd 11480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ)
107	88	nn0zd 11480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℤ)
108		eluz 11701	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 + 𝑇) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℤ) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
109	106, 107, 108	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑈 ∈ (ℤ≥‘((𝑆 + 𝑇) + 1)) ↔ ((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈))
110	35, 32	expp1d 13009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃))
111	18	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℂ)
112	25	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
113	111, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℂ)
114	50	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℂ)
115	50	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)
116	113, 114, 115	divcan2d 10803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = (𝑀 · 𝑁))
117	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
118	38	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑆) ∈ ℂ)
119	40	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑𝑇) ∈ ℂ)
120	111, 118, 112, 119, 75, 79	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) = ((𝑀 · 𝑁) / ((𝑃↑𝑆) · (𝑃↑𝑇))))
121	117, 120	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇))) = ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 · 𝑁) / (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)))) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
123	116, 122	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑀 · 𝑁) = ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
124	110, 123	breq12d 4666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))))))
125	78, 82	zmulcld 11488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ)
126		dvdscmulr 15010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇))) ∈ ℤ ∧ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
127	91, 125, 51, 115, 126	syl112anc 1330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · 𝑃) ∥ ((𝑃↑(𝑆 + 𝑇)) · ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
128	124, 127	bitrd 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑃↑((𝑆 + 𝑇) + 1)) ∥ (𝑀 · 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
129	105, 109, 128	3imtr3d 282	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝑆 + 𝑇) + 1) ≤ 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
130	90, 129	sylbid 230	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) < 𝑈 → 𝑃 ∥ ((𝑀 / (𝑃↑𝑆)) · (𝑁 / (𝑃↑𝑇)))))
131	85, 130	mtod 189	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)
132	32	nn0red 11352	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) ∈ ℝ)
133	88	nn0red 11352	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑈 ∈ ℝ)
134	132, 133	eqleltd 10181	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((𝑆 + 𝑇) = 𝑈 ↔ ((𝑆 + 𝑇) ≤ 𝑈 ∧ ¬ (𝑆 + 𝑇) < 𝑈)))
135	67, 131, 134	mpbir2and 957	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑆 + 𝑇) = 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  {crab 2916   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ↑cexp 12860   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  pceulem  15550  pcmul  15556