Theorem pthdlem1 26662

Description: Lemma 1 for pthd 26665. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Nov-2017.) (Revised by AV, 9-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pthd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
pthd.r	⊢ 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
pthd.s	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))

Assertion

Ref	Expression
pthdlem1	⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Proof of Theorem pthdlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthd.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
2		wrdf 13310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃:(0..^(#‘𝑃))⟶V)
4		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^𝑅) ⊆ (0..^𝑅)
5		pthd.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1)
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((#‘𝑃) − 1))
7	6	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑅) = (0..^((#‘𝑃) − 1)))
8	4, 7	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^((#‘𝑃) − 1)))
9		lencl 13324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word V → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
10		nn0z 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
11	1, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
12		fzossrbm1 12497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((#‘𝑃) − 1)) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
14	8, 13	sstrd 3613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1..^𝑅) ⊆ (0..^(#‘𝑃)))
15	3, 14	fssresd 6071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V)
17		pthd.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
18	17	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
19	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
20		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℝ)
21	20	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃))
22		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℝ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
25		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
26	22, 24, 20, 25	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 < (#‘𝑃)))
27		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
28		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
29	27, 20, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
30	26, 29	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 < ((#‘𝑃) − 1) ∧ ((#‘𝑃) − 1) < (#‘𝑃)) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
31	21, 30	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → 1 ≤ (#‘𝑃)))
32	31	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
33		elnnnn0c 11338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
34	32, 33	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
35	19, 34	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ)
36		fzo0sn0fzo1 12557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))))
38		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 1 ∈ ℤ)
39		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 1) = 2
40		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℤ
41	39, 40	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) ∈ ℤ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ∈ ℤ)
43	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
44		ltaddsub 10502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) ↔ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
45	44	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
46	22, 27, 20, 45	mp3an2i 1429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) ↔ (1 + 1) < (#‘𝑃)))
47		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
48	39, 47	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) ∈ ℝ
49		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 + 1) ∈ ℝ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℝ) → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
50	48, 20, 49	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → ((1 + 1) < (#‘𝑃) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
51	46, 50	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < ((#‘𝑃) − 1) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
53		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)) ↔ ((1 + 1) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ ∧ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
54	42, 43, 52, 53	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
55	19, 54	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (#‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
56		fzosplitsnm1 12542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1))) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
57	38, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^(#‘𝑃)) = ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))
58	57	uneq2d 3767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ({0} ∪ (1..^(#‘𝑃))) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
59	37, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (0..^(#‘𝑃)) = ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})))
60	59	raleqdv 3144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))
61		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))
62		ralunb 3794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))
63	62	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)})∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))))
64	61, 63	bitri 264	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ ({0} ∪ ((1..^((#‘𝑃) − 1)) ∪ {((#‘𝑃) − 1)}))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))))
65	60, 64	syl6bb 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ (∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))))))
66	5	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑃) − 1) = 𝑅
67	66	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^((#‘𝑃) − 1)) = (1..^𝑅)
68	67	raleqi 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))
69		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
70	69	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃‘𝑖) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖))
73		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗) = (𝑃‘𝑗))
74	73	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1..^𝑅) → (𝑃‘𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → (𝑃‘𝑗) = ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))
76	72, 75	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
77	76	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
78	77	imim2d 57	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) ∧ 𝑗 ∈ (1..^𝑅)) → ((𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → (𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
79	78	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑅)) → (∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
80	79	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
81	68, 80	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
82	81	adantrd 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
83	82	adantld 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((∀𝑖 ∈ {0}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1..^((#‘𝑃) − 1))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) ∧ ∀𝑖 ∈ {((#‘𝑃) − 1)}∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
84	65, 83	sylbid 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘𝑗)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
85	18, 84	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗)))
86		dff14a 6527	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑅)∀𝑗 ∈ (1..^𝑅)(𝑖 ≠ 𝑗 → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑖) ≠ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅))‘𝑗))))
87	16, 85, 86	sylanbrc 698	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V)
88		df-f1 5893	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)–1-1→V ↔ ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
89	87, 88	sylib 208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((𝑃 ↾ (1..^𝑅)):(1..^𝑅)⟶V ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅))))
90	89	simprd 479	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
91		funcnv0 5955	. . 3 ⊢ Fun ◡∅
92	19	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
93		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℤ → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℤ)
95	94	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) − 1) ∈ ℝ)
96		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97	95, 96	lenltd 10183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝑃) − 1) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)))
98	97	biimpar 502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((#‘𝑃) − 1) ≤ 1)
99	5, 98	syl5eqbr 4688	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → 𝑅 ≤ 1)
100		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
101	5, 94	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
102	100, 101	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
103	102	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ))
104		fzon 12489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑅 ≤ 1 ↔ (1..^𝑅) = ∅))
105	104	bicomd 213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
106	103, 105	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ((1..^𝑅) = ∅ ↔ 𝑅 ≤ 1))
107	99, 106	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (1..^𝑅) = ∅)
108	107	reseq2d 5396	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = (𝑃 ↾ ∅))
109		res0 5400	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ↾ ∅) = ∅
110	108, 109	syl6eq 2672	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ∅)
111	110	cnveqd 5298	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)) = ◡∅)
112	111	funeqd 5910	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)) ↔ Fun ◡∅))
113	91, 112	mpbiri 248	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 1 < ((#‘𝑃) − 1)) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))
114	90, 113	pm2.61dan 832	1 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113   ↾ cres 5116  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  –1-1→wf1 5885  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299

This theorem is referenced by:  pthd  26665