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Theorem scvxcvx 24712

Description: A strictly convex function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
scvxcvx.1	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
scvxcvx.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
scvxcvx.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
scvxcvx.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))

**Assertion**
Ref	Expression
scvxcvx	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))

Distinct variable groups: 𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐷 𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦 𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦 𝑌,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦 𝑡,𝐹,𝑥,𝑦 𝑡,𝑇 Allowed substitution hints: 𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏) 𝐹(𝑎,𝑏)

**Proof of Theorem scvxcvx**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		scvxcvx.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℝ)
2	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ⊆ ℝ)
3		simpr1 1067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
4	2, 3	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
5	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		simpr2 1068	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ 𝐷)
7	2, 6	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9	5, 8	lttri4d 10178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋))
10		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑇 ∈ (0(,)1))
11	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
12	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
13	11, 12	jca 554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷))
14		simprr 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
15		simpll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝜑)
16		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑋 < 𝑦))
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · 𝑋))
18	17	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑋))
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 · (𝐹‘𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘𝑋)))
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
23	19, 22	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
25	24	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))))
26	16, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑋 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))))
27		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑦 ↔ 𝑋 < 𝑌))
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · 𝑌))
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌)))
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))))
31		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑌))
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))))
34	30, 33	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))))
35	34	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))))
36	35	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))))))
37	27, 36	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑋 < 𝑌 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)))))))
38		scvxcvx.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
39	38	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
40	39	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
41	40	expcom 451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
42	41	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))))
43	26, 37, 42	vtocl2ga 3274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷) → (𝑋 < 𝑌 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))))))
44	13, 14, 15, 43	syl3c 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))))
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋))
46		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇))
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · 𝑌) = ((1 − 𝑇) · 𝑌))
48	45, 47	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))))
50		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐹‘𝑋)) = (𝑇 · (𝐹‘𝑋)))
51	46	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌)) = ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))
52	50, 51	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
53	49, 52	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
54	53	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑌))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
55	10, 44, 54	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
56	55	orcd 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
57	56	expr 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 < 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))))
58		unitssre 12319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
59		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
60	58, 59	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
61	60	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
62		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
63		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
64	61, 62, 63	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
65	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
66		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
67	62, 61, 66	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
68	7	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℂ)
69	61, 67, 68	adddird 10065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
70	68	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
71	65, 69, 70	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = 𝑌)
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘𝑌))
73	64	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑌)) = (1 · (𝐹‘𝑌)))
74		scvxcvx.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
76	75, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
77	76	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ)
78	61, 67, 77	adddird 10065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑌)) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
79	77	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
80	73, 78, 79	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = (𝐹‘𝑌))
81	72, 80	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
82	81	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
83		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑌))
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
85	84	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))))
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑌))
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) = (𝑇 · (𝐹‘𝑌)))
88	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
89	85, 88	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
90	82, 89	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
91		olc 399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
92	90, 91	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))))
93		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
94		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
95		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
96	93, 94, 95	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
97		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
98	97	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 < 1)
99		posdif 10521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
100	94, 93, 99	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
101	98, 100	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 0 < (1 − 𝑇))
102	97	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑇)
103		ltsubpos 10520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑇 ↔ (1 − 𝑇) < 1))
104	94, 93, 103	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇 ↔ (1 − 𝑇) < 1))
105	102, 104	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑇) < 1)
106		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ^*
107	93	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ^*
108		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^*) → ((1 − 𝑇) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇) ∧ (1 − 𝑇) < 1)))
109	106, 107, 108	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 − 𝑇) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇) ∧ (1 − 𝑇) < 1))
110	96, 101, 105, 109	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑇) ∈ (0(,)1))
111	110	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (1 − 𝑇) ∈ (0(,)1))
112	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑌 ∈ 𝐷)
113	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑋 ∈ 𝐷)
114	112, 113	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷))
115		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑌 < 𝑋)
116		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝜑)
117		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑦))
118		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · 𝑌))
119	118	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
121		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑌))
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑡 · (𝐹‘𝑥)) = (𝑡 · (𝐹‘𝑌)))
123	122	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))
124	120, 123	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
125	124	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))
126	125	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))))
127	117, 126	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑌 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))))))
128		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑌 < 𝑦 ↔ 𝑌 < 𝑋))
129		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · 𝑋))
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋)))
131	130	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))))
132		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑋))
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))))
135	131, 134	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))))
136	135	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))))
137	136	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))))))
138	128, 137	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ((𝑌 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑦))))) ↔ (𝑌 < 𝑋 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)))))))
139	127, 138, 42	vtocl2ga 3274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → (𝑌 < 𝑋 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))))))
140	114, 115, 116, 139	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))))
141		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝑡 · 𝑌) = ((1 − 𝑇) · 𝑌))
142		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑇)))
143	142	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((1 − 𝑡) · 𝑋) = ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))
144	141, 143	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)))
145	144	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) = (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))))
146		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝑡 · (𝐹‘𝑌)) = ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))
147	142	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋)) = ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋)))
148	146, 147	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))))
149	145, 148	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))) ↔ (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋)))))
150	149	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 − 𝑇) ∈ (0(,)1) → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹‘𝑋))) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋)))))
151	111, 140, 150	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))))
152		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
153	62, 61, 152	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋))
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)))
156	93, 60, 95	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
157	156, 7	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℝ)
158	157	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℂ)
159	60, 4	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℝ)
160	159	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
161	158, 160	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
162	155, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
164	163	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))))
165	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋)) = (𝑇 · (𝐹‘𝑋)))
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + (𝑇 · (𝐹‘𝑋))))
167	156, 76	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) ∈ ℝ)
168	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) ∈ ℂ)
169	75, 3	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
170	60, 169	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ)
171	170	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ)
172	168, 171	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + (𝑇 · (𝐹‘𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
173	166, 172	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
174	173	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹‘𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
175	151, 164, 174	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))
176	175	orcd 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
177	176	expr 643	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 < 𝑋 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))))
178	57, 92, 177	3jaod 1392	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 < 𝑌 ∨ 𝑋 = 𝑌 ∨ 𝑌 < 𝑋) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))))
179	9, 178	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
180	179	ex 450	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ (0(,)1) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))))
181		elpri 4197	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ {0, 1} → (𝑇 = 0 ∨ 𝑇 = 1))
182	77	addid2d 10237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘𝑌))
183	169	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
184	183	mul02d 10234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝐹‘𝑋)) = 0)
185	184, 79	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌))) = (0 + (𝐹‘𝑌)))
186	4	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
187	186	mul02d 10234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · 𝑋) = 0)
188	187, 70	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)) = (0 + 𝑌))
189	68	addid2d 10237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + 𝑌) = 𝑌)
190	188, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)) = 𝑌)
191	190	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = (𝐹‘𝑌))
192	182, 185, 191	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌))))
193		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
194		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
195		1m0e1 11131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
196	194, 195	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
197	196	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
198	193, 197	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 0 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)))
199	198	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = 0 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))))
200		oveq1 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) = (0 · (𝐹‘𝑋)))
201	196	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) = (1 · (𝐹‘𝑌)))
202	200, 201	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = 0 → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌))))
203	199, 202	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = ((0 · (𝐹‘𝑋)) + (1 · (𝐹‘𝑌)))))
204	192, 203	syl5ibrcom 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 = 0 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
205	183	addid1d 10236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘𝑋) + 0) = (𝐹‘𝑋))
206	183	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝐹‘𝑋)) = (𝐹‘𝑋))
207	77	mul02d 10234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝐹‘𝑌)) = 0)
208	206, 207	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) + 0))
209	186	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
210	68	mul02d 10234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · 𝑌) = 0)
211	209, 210	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = (𝑋 + 0))
212	186	addid1d 10236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑋 + 0) = 𝑋)
213	211, 212	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = 𝑋)
214	213	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = (𝐹‘𝑋))
215	205, 208, 214	3eqtr4rd 2667	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌))))
216		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 1 → (𝑇 · 𝑋) = (1 · 𝑋))
217		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 = 1 → (1 − 𝑇) = (1 − 1))
218		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 1) = 0
219	217, 218	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 = 1 → (1 − 𝑇) = 0)
220	219	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 = 1 → ((1 − 𝑇) · 𝑌) = (0 · 𝑌))
221	216, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 1 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)))
222	221	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = 1 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))))
223		oveq1 6657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 1 → (𝑇 · (𝐹‘𝑋)) = (1 · (𝐹‘𝑋)))
224	219	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 = 1 → ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)) = (0 · (𝐹‘𝑌)))
225	223, 224	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 = 1 → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) = ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌))))
226	222, 225	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 1 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = ((1 · (𝐹‘𝑋)) + (0 · (𝐹‘𝑌)))))
227	215, 226	syl5ibrcom 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 = 1 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
228	204, 227	jaod 395	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 = 0 ∨ 𝑇 = 1) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
229	181, 228, 91	syl56 36	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ {0, 1} → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))))
230		0le1 10551	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
231		prunioo 12301	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ^* ∧ 1 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 1) → ((0(,)1) ∪ {0, 1}) = (0[,]1))
232	106, 107, 230, 231	mp3an 1424	. . . . 5 ⊢ ((0(,)1) ∪ {0, 1}) = (0[,]1)
233	59, 232	syl6eleqr 2712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ((0(,)1) ∪ {0, 1}))
234		elun 3753	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ ((0(,)1) ∪ {0, 1}) ↔ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∨ 𝑇 ∈ {0, 1}))
235	233, 234	sylib 208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ (0(,)1) ∨ 𝑇 ∈ {0, 1}))
236	180, 229, 235	mpjaod 396	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌)))))
237		scvxcvx.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐷 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
238	1, 237	cvxcl 24711	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
239	75, 238	ffvelrnd 6360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ∈ ℝ)
240	170, 167	readdcld 10069	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∈ ℝ)
241	239, 240	leloed 10180	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ↔ ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))))
242	236, 241	mpbird 247	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑌 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹‘𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹‘𝑌))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∨ wo 383 ∧ wa 384 ∨ w3o 1036 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ∀wral 2912 ∪ cun 3572 ⊆ wss 3574 {cpr 4179 class class class wbr 4653 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 (,)cioo 12175 [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182

This theorem is referenced by: amgmlem 24716 amgmwlem 42548

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