Theorem tgblthelfgottOLD 41709

Description: Obsolete version of tgblthelfgott 41703 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
tgblthelfgottOLD	⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Proof of Theorem tgblthelfgottOLD

Dummy variables 𝑛 𝑑 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hgprmladderOLD 41708	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
2		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		1nn 11031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 11518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;11 ∈ ℕ
5	4	nnzi 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ∈ ℤ
6		8nn0 11315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		8nn 11191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;88 ∈ ℕ
9		10nnOLD 11193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 10 ∈ ℕ
10		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℕ0
11		9nn 11192	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ ℕ
12	10, 11	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;29 ∈ ℕ
13	12	nnnn0i 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
14		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((10 ∈ ℕ ∧ ;29 ∈ ℕ0) → (10↑;29) ∈ ℕ)
15	9, 13, 14	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (10↑;29) ∈ ℕ
16	8, 15	nnmulcli 11044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℕ
17	16	nnzi 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℤ
18		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
19	8	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;88 ∈ ℝ
20	18, 19	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ ;88 ∈ ℝ)
21		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ 1
22		1lt10OLD 11238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 10
23	7, 6, 2, 22	decltiOLD 11548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < ;88
24	21, 23	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < ;88)
25		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((10 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (10↑1) ∈ ℕ)
26	9, 2, 25	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑1) ∈ ℕ
27	26	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑1) ∈ ℝ
28	15	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑;29) ∈ ℝ
29	27, 28	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;29) ∈ ℝ)
30		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
31		10reOLD 11109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 10 ∈ ℝ
32		10posOLD 11123	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 10
33	30, 31, 32	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 10
34	9	nncni 11030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 10 ∈ ℂ
35		exp1 12866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (10 ∈ ℂ → (10↑1) = 10)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑1) = 10
37	33, 36	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ≤ (10↑1)
38		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
39	12	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;29 ∈ ℤ
40	31, 38, 39	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;29 ∈ ℤ)
41		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ∈ ℕ
42		9nn0 11316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ ℕ0
43	41, 42, 2, 22	decltiOLD 11548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < ;29
44	22, 43	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 < 10 ∧ 1 < ;29)
45		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;29 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < ;29)) → (10↑1) < (10↑;29))
46	40, 44, 45	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑1) < (10↑;29)
47	37, 46	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;29))
48		ltmul12a 10879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ ;88 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < ;88)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;29) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;29)))) → (1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)))
49	20, 24, 29, 47, 48	mp4an 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29))
50	26	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑1) ∈ ℤ
51		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (10↑1) ∈ ℤ) → (1 · (10↑1)) ∈ ℤ)
52	38, 50, 51	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · (10↑1)) ∈ ℤ
53		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (;88 · (10↑;29))))
54	52, 17, 53	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (;88 · (10↑;29)))
55		1t10e1p1e11OLD 41320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 = ((1 · (10↑1)) + 1)
56	55	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · (10↑1)) + 1) = ;11
57	56	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (;88 · (10↑;29)) ↔ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29)))
58	54, 57	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (;88 · (10↑;29)) ↔ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29)))
59	49, 58	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29))
60		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;88 · (10↑;29)) ∈ (ℤ≥‘;11) ↔ (;11 ∈ ℤ ∧ (;88 · (10↑;29)) ∈ ℤ ∧ ;11 ≤ (;88 · (10↑;29))))
61	5, 17, 59, 60	mpbir3an 1244	. . . . . . . . 9 ⊢ (;88 · (10↑;29)) ∈ (ℤ≥‘;11)
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (;88 · (10↑;29)) ∈ (ℤ≥‘;11))
63		4nn 11187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ
64	2, 7	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;18 ∈ ℕ
65	64	nnnn0i 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
66		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((10 ∈ ℕ ∧ ;18 ∈ ℕ0) → (10↑;18) ∈ ℕ)
67	9, 65, 66	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (10↑;18) ∈ ℕ
68	63, 67	nnmulcli 11044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℕ
69	68	nnzi 11401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ
70		4re 11097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
71	18, 70	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
72		1lt4 11199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < 4
73	21, 72	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)
74	67	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑;18) ∈ ℝ
75	27, 74	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;18) ∈ ℝ)
76	64	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;18 ∈ ℤ
77	31, 38, 76	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;18 ∈ ℤ)
78	3, 6, 2, 22	decltiOLD 11548	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < ;18
79	22, 78	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 < 10 ∧ 1 < ;18)
80		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((10 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ;18 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 1 < ;18)) → (10↑1) < (10↑;18))
81	77, 79, 80	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (10↑1) < (10↑;18)
82	37, 81	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;18))
83		ltmul12a 10879	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 4)) ∧ (((10↑1) ∈ ℝ ∧ (10↑;18) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (10↑1) ∧ (10↑1) < (10↑;18)))) → (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)))
84	71, 73, 75, 82, 83	mp4an 709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18))
85		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
86	67	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (10↑;18) ∈ ℤ
87		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 ∈ ℤ ∧ (10↑;18) ∈ ℤ) → (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ)
88	85, 86, 87	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ
89		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 · (10↑1)) ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ) → ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑;18))))
90	52, 88, 89	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)) ↔ ((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑;18)))
91	56	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 · (10↑1)) + 1) ≤ (4 · (10↑;18)) ↔ ;11 ≤ (4 · (10↑;18)))
92	90, 91	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · (10↑1)) < (4 · (10↑;18)) ↔ ;11 ≤ (4 · (10↑;18)))
93	84, 92	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;11 ≤ (4 · (10↑;18))
94		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · (10↑;18)) ∈ (ℤ≥‘;11) ↔ (;11 ∈ ℤ ∧ (4 · (10↑;18)) ∈ ℤ ∧ ;11 ≤ (4 · (10↑;18))))
95	5, 69, 93, 94	mpbir3an 1244	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ (ℤ≥‘;11)
96	95	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (4 · (10↑;18)) ∈ (ℤ≥‘;11))
97		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 𝑛 ∈ Even )
98		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 4 < 𝑛)
99		evenz 41543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℤ)
100	99	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ Even → 𝑛 ∈ ℝ)
101	68	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 · (10↑;18)) ∈ ℝ
102		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (4 · (10↑;18)) ∈ ℝ) → (𝑛 < (4 · (10↑;18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18))))
103	100, 101, 102	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (𝑛 < (4 · (10↑;18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18))))
104	103	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ Even → (4 < 𝑛 → (𝑛 < (4 · (10↑;18)) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18)))))
105	104	imp32 449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18)))
106		ax-bgbltosilvaOLD 41706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ 4 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
107	97, 98, 105, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ Even ∧ (4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18)))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )
108	107	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
109	108	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑛 ∈ Even → ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven )))
110	109	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → ∀𝑛 ∈ Even ((4 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (4 · (10↑;18))) → 𝑛 ∈ GoldbachEven ))
111		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘3))
112	111	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → 𝑑 ∈ (ℤ≥‘3))
113		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
114	113	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑))
115		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
116	115	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))
117		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘0) = 7)
118	117	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑓‘0) = 7)
119		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘1) = ;13)
120	119	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑓‘1) = ;13)
121	6, 11	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;89 ∈ ℕ
122	121	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;89 ∈ ℝ
123	15	nngt0i 11054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < (10↑;29)
124	28, 123	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((10↑;29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑;29))
125	19, 122, 124	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;88 ∈ ℝ ∧ ;89 ∈ ℝ ∧ ((10↑;29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑;29)))
126		8lt9 11222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 < 9
127	6, 6, 11, 126	declt 11530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;88 < ;89
128		ltmul1a 10872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((;88 ∈ ℝ ∧ ;89 ∈ ℝ ∧ ((10↑;29) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑;29))) ∧ ;88 < ;89) → (;88 · (10↑;29)) < (;89 · (10↑;29)))
129	125, 127, 128	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;88 · (10↑;29)) < (;89 · (10↑;29))
130		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → ((;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑) ↔ (;88 · (10↑;29)) < (;89 · (10↑;29))))
131	129, 130	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
132	131	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
133	132	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
134	133	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (;88 · (10↑;29)) < (𝑓‘𝑑))
135	121, 15	nnmulcli 11044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;89 · (10↑;29)) ∈ ℕ
136	135	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;89 · (10↑;29)) ∈ ℝ
137		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → ((𝑓‘𝑑) ∈ ℝ ↔ (;89 · (10↑;29)) ∈ ℝ))
138	136, 137	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29)) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
139	138	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
140	139	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
141	140	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → (𝑓‘𝑑) ∈ ℝ)
142	62, 96, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 134, 141	bgoldbtbnd 41697	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) ∧ (((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) ∧ (𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
143	142	exp31 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)) → ((((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
144	143	rexlimdva 3031	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) → (∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
145	144	imp 445	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ ∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖))))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
146	145	rexlimiva 3028	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
147		breq2 4657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (7 < 𝑛 ↔ 7 < 𝑁))
148		breq1 4656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 < (;88 · (10↑;29)) ↔ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))))
149	147, 148	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) ↔ (7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29)))))
150		eleq1 2689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ GoldbachOdd ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
151	149, 150	imbi12d 334	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
152	151	rspcv 3305	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
153	152	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Odd → ((7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )))
154	153	3impib 1262	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛 ∧ 𝑛 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
155	146, 154	sylcom 30	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ (ℤ≥‘3)∃𝑓 ∈ (RePart‘𝑑)(((𝑓‘0) = 7 ∧ (𝑓‘1) = ;13 ∧ (𝑓‘𝑑) = (;89 · (10↑;29))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑑)((𝑓‘𝑖) ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)) < ((4 · (10↑;18)) − 4) ∧ 4 < ((𝑓‘(𝑖 + 1)) − (𝑓‘𝑖)))) → ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd ))
156	1, 155	ax-mp 5	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (;88 · (10↑;29))) → 𝑁 ∈ GoldbachOdd )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  10c10 11078  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ;cdc 11493  ℤ_≥cuz 11687  ..^cfzo 12465  ↑cexp 12860  ℙcprime 15385  RePartciccp 41349   Even ceven 41537   Odd codd 41538   GoldbachEven cgbe 41633   GoldbachOdd cgbo 41635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-bgbltosilvaOLD 41706  ax-hgprmladderOLD 41708

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-10OLD 11087  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-iccp 41350  df-even 41539  df-odd 41540  df-gbe 41636  df-gbo 41638

This theorem is referenced by:  tgoldbachltOLD  41710