Theorem nnexpcl 12873

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 11025	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 11043	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 11031	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 12871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  digit1  12998  nnexpcld  13030  faclbnd4lem3  13082  faclbnd5  13085  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  climcnds  14583  harmonic  14591  geo2sum  14604  geo2lim  14606  ege2le3  14820  eftlub  14839  ef01bndlem  14914  phiprmpw  15481  pcdvdsb  15573  pcmptcl  15595  pcfac  15603  pockthi  15611  prmreclem3  15622  prmreclem5  15624  prmreclem6  15625  modxai  15772  1259lem5  15842  2503lem3  15846  4001lem4  15851  ovollb2lem  23256  ovoliunlem1  23270  ovoliunlem3  23272  dyadf  23359  dyadovol  23361  dyadss  23362  dyaddisjlem  23363  dyadmaxlem  23365  opnmbllem  23369  mbfi1fseqlem1  23482  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  mbfi1fseqlem6  23487  aalioulem1  24087  aaliou2b  24096  aaliou3lem9  24105  log2cnv  24671  log2tlbnd  24672  log2ublem1  24673  log2ublem2  24674  log2ub  24676  zetacvg  24741  vmappw  24842  sgmnncl  24873  dvdsppwf1o  24912  0sgmppw  24923  1sgm2ppw  24925  vmasum  24941  mersenne  24952  perfect1  24953  perfectlem1  24954  perfectlem2  24955  perfect  24956  pcbcctr  25001  bclbnd  25005  bposlem2  25010  bposlem6  25014  bposlem8  25016  chebbnd1lem1  25158  rplogsumlem2  25174  ostth2lem3  25324  ostth3  25327  oddpwdc  30416  tgoldbachgt  30741  faclim2  31634  opnmbllem0  33445  heiborlem3  33612  heiborlem5  33614  heiborlem6  33615  heiborlem7  33616  heiborlem8  33617  heibor  33620  hoicvrrex  40770  ovnsubaddlem2  40785  ovolval5lem1  40866  fmtnoprmfac2lem1  41478  fmtno4prm  41487  perfectALTVlem1  41630  perfectALTVlem2  41631  perfectALTV  41632  bgoldbachlt  41701  tgblthelfgott  41703  tgoldbachlt  41704  bgoldbachltOLD  41707  tgblthelfgottOLD  41709  tgoldbachltOLD  41710  blenpw2  42372  nnpw2pb  42381  nnolog2flm1  42384