Theorem zringunit 19836

Description: The units of ℤ are the integers with norm 1, i.e. 1 and -1. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringunit	⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Proof of Theorem zringunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringbas 19824	. . . 4 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
2		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (Unit‘ℤring) = (Unit‘ℤring)
3	1, 2	unitcl 18659	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ ℤ)
4		zsubrg 19799	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
5		zgz 15637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ[i])
6	5	ssriv 3607	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ[i]
7		gzsubrg 19800	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld)
8		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂfld ↾s ℤ[i]) = (ℂfld ↾s ℤ[i])
9	8	subsubrg 18806	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) → (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i])))
10	7, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]))
11	4, 6, 10	mpbir2an 955	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
12		df-zring 19819	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
13		ressabs 15939	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ[i] ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℤ ⊆ ℤ[i]) → ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ))
14	7, 6, 13	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ) = (ℂfld ↾s ℤ)
15	12, 14	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 ⊢ ℤring = ((ℂfld ↾s ℤ[i]) ↾s ℤ)
16		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) = (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
17	15, 16, 2	subrguss 18795	. . . . . 6 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
18	11, 17	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (Unit‘ℤring) ⊆ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i]))
19	18	sseli 3599	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → 𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])))
20	8	gzrngunit 19812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) ↔ (𝐴 ∈ ℤ[i] ∧ (abs‘𝐴) = 1))
21	20	simprbi 480	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘(ℂfld ↾s ℤ[i])) → (abs‘𝐴) = 1)
22	19, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (abs‘𝐴) = 1)
23	3, 22	jca 554	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))
24		zcn 11382	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) = 1)
27		ax-1ne0 10005	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ≠ 0)
29	26, 28	eqnetrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
30		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = (abs‘0))
31		abs0 14025	. . . . . . 7 ⊢ (abs‘0) = 0
32	30, 31	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (abs‘𝐴) = 0)
33	32	necon3i 2826	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ 0)
34	29, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0)
35		eldifsn 4317	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
36	25, 34, 35	sylanbrc 698	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
37		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
38		cnfldinv 19777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	25, 34, 38	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40		zre 11381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
42		absresq 14042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
44	26	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = (1↑2))
45		sq1 12958	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
46	44, 45	syl6eq 2672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((abs‘𝐴)↑2) = 1)
47	25	sqvald 13005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
48	43, 46, 47	3eqtr3rd 2665	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (𝐴 · 𝐴) = 1)
49		1cnd 10056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 1 ∈ ℂ)
50	49, 25, 25, 34	divmuld 10823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((1 / 𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = 1))
51	48, 50	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → (1 / 𝐴) = 𝐴)
52	39, 51	eqtrd 2656	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) = 𝐴)
53	52, 37	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)
54		cnfldbas 19750	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
55		cnfld0 19770	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
56		cndrng 19775	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
57	54, 55, 56	drngui 18753	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (Unit‘ℂfld)
58		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (invr‘ℂfld) = (invr‘ℂfld)
59	12, 57, 2, 58	subrgunit 18798	. . . 4 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ)))
60	4, 59	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ((invr‘ℂfld)‘𝐴) ∈ ℤ))
61	36, 37, 53, 60	syl3anbrc 1246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ (Unit‘ℤring))
62	23, 61	impbii 199	1 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐴) = 1))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   / cdiv 10684  2c2 11070  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  abscabs 13974  ℤ[i]cgz 15633   ↾_s cress 15858  Unitcui 18639  inv_rcinvr 18671  SubRingcsubrg 18776  ℂ_fldccnfld 19746  ℤ_ringzring 19818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-cnfld 19747  df-zring 19819

This theorem is referenced by:  zringndrg  19838  prmirredlem  19841  qqhval2lem  30025