Theorem 19prm 15825

Description: 19 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
19prm	|- ; 1 9 e. Prime

Proof of Theorem 19prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 11308	. . 3 |- 1 e. NN0
2		9nn 11192	. . 3 |- 9 e. NN
3	1, 2	decnncl 11518	. 2 |- ; 1 9 e. NN
4		1nn 11031	. . 3 |- 1 e. NN
5		9nn0 11316	. . 3 |- 9 e. NN0
6		1lt10 11681	. . 3 |- 1 < ; 1 0
7	4, 5, 1, 6	declti 11546	. 2 |- 1 < ; 1 9
8		4nn0 11311	. . 3 |- 4 e. NN0
9		4t2e8 11181	. . 3 |- ( 4 x. 2 ) = 8
10		df-9 11086	. . 3 |- 9 = ( 8 + 1 )
11	1, 8, 9, 10	dec2dvds 15767	. 2 |- -. 2 || ; 1 9
12		3nn 11186	. . 3 |- 3 e. NN
13		6nn0 11313	. . 3 |- 6 e. NN0
14		8nn0 11315	. . . 4 |- 8 e. NN0
15		8p1e9 11158	. . . 4 |- ( 8 + 1 ) = 9
16		6cn 11102	. . . . 5 |- 6 e. CC
17		3cn 11095	. . . . 5 |- 3 e. CC
18		6t3e18 11642	. . . . 5 |- ( 6 x. 3 ) = ; 1 8
19	16, 17, 18	mulcomli 10047	. . . 4 |- ( 3 x. 6 ) = ; 1 8
20	1, 14, 15, 19	decsuc 11535	. . 3 |- ( ( 3 x. 6 ) + 1 ) = ; 1 9
21		1lt3 11196	. . 3 |- 1 < 3
22	12, 13, 4, 20, 21	ndvdsi 15136	. 2 |- -. 3 || ; 1 9
23		2nn0 11309	. . 3 |- 2 e. NN0
24		5nn0 11312	. . 3 |- 5 e. NN0
25		9lt10 11673	. . 3 |- 9 < ; 1 0
26		1lt2 11194	. . 3 |- 1 < 2
27	1, 23, 5, 24, 25, 26	decltc 11532	. 2 |- ; 1 9 < ; 2 5
28	3, 7, 11, 22, 27	prmlem1 15814	1 |- ; 1 9 e. Prime

Syntax hints:   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   1c1 9937   x. cmul 9941   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   8c8 11076   9c9 11077  ;cdc 11493   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  2503lem3  15846