Theorem 2sqlem2 25143

Description: Lemma for 2sq 25155. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqlem2	|- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   x, w, y   x, A, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   A( w)   S( w)

Proof of Theorem 2sqlem2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sq.1	. . . 4 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2	1	2sqlem1 25142	. . 3 |- ( A e. S <-> E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
3		elgz 15635	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] <-> ( z e. CC /\ ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ ) )
4	3	simp2bi 1077	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Re ` z ) e. ZZ )
5	3	simp3bi 1078	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( Im ` z ) e. ZZ )
6		gzcn 15636	. . . . . . 7 |- ( z e. ZZ[_i] -> z e. CC )
7	6	absvalsq2d 14182	. . . . . 6 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
8		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( Re ` z ) ^ 2 ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
10	9	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
11		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( y ^ 2 ) = ( ( Im ` z ) ^ 2 ) )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) )
13	12	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) )
14	10, 13	rspc2ev 3324	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. ZZ /\ ( Im ` z ) e. ZZ /\ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` z ) ^ 2 ) + ( ( Im ` z ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
15	4, 5, 7, 14	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( z e. ZZ[_i] -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
16		eqeq1 2626	. . . . . 6 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
17	16	2rexbidv 3057	. . . . 5 |- ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
18	15, 17	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( z e. ZZ[_i] -> ( A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) )
19	18	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. z e. ZZ[_i] A = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
20	2, 19	sylbi 207	. 2 |- ( A e. S -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
21		gzreim 15643	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] )
22		zcn 11382	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
23		ax-icn 9995	. . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
24		zcn 11382	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
25		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ y e. CC ) -> ( _i x. y ) e. CC )
26	23, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ZZ -> ( _i x. y ) e. CC )
27		addcl 10018	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ ( _i x. y ) e. CC ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
28	22, 26, 27	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( x + ( _i x. y ) ) e. CC )
29	28	absvalsq2d 14182	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) )
30		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> x e. RR )
31		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ZZ -> y e. RR )
32		crre 13854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
33	30, 31, 32	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = x )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( x ^ 2 ) )
35		crim 13855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
36	30, 31, 35	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) = y )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) = ( y ^ 2 ) )
38	34, 37	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( Re ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
39	29, 38	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( abs ` z ) ^ 2 ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) )
42	41	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( z = ( x + ( _i x. y ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) )
43	42	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( x + ( _i x. y ) ) e. ZZ[_i] /\ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( x + ( _i x. y ) ) ) ^ 2 ) ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
44	21, 39, 43	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
45	1	2sqlem1 25142	. . . . 5 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S <-> E. z e. ZZ[_i] ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = ( ( abs ` z ) ^ 2 ) )
46	44, 45	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S )
47		eleq1 2689	. . . 4 |- ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( A e. S <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. S ) )
48	46, 47	syl5ibrcom 237	. . 3 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S ) )
49	48	rexlimivv 3036	. 2 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> A e. S )
50	20, 49	impbii 199	1 |- ( A e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ A = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   2c2 11070   ZZcz 11377   ^cexp 12860   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   ZZ[_i]cgz 15633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-gz 15634

This theorem is referenced by:  2sqlem5  25147  2sqlem7  25149  2sq  25155