Theorem 2sqlem7 25149

Description: Lemma for 2sq 25155. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sq.1	|- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
2sqlem7.2	|- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
2sqlem7	|- Y C_ ( S i^i NN )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   x, S, y, z   x, Y, y

Allowed substitution hints:   S( w)   Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqlem7.2	. 2 |- Y = { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) }
2		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
3	2	reximi 3011	. . . . . 6 |- ( E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
4	3	reximi 3011	. . . . 5 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
5		2sq.1	. . . . . 6 |- S = ran ( w e. ZZ[_i] |-> ( ( abs ` w ) ^ 2 ) )
6	5	2sqlem2 25143	. . . . 5 |- ( z e. S <-> E. x e. ZZ E. y e. ZZ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) )
7	4, 6	sylibr 224	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. S )
8		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . 10 |- 1 =/= 0
9		gcdeq0 15238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
11		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x gcd y ) = 1 )
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x gcd y ) = 0 <-> 1 = 0 ) )
13	10, 12	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 = 0 ) )
14	13	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( -. ( x = 0 /\ y = 0 ) <-> 1 =/= 0 ) )
15	8, 14	mpbiri 248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( x = 0 /\ y = 0 ) )
16		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. NN0 )
18	17	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( x ^ 2 ) e. RR )
19	17	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( x ^ 2 ) )
20		zsqcl2 12941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ZZ -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. NN0 )
22	21	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( y ^ 2 ) e. RR )
23	21	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> 0 <_ ( y ^ 2 ) )
24		add20 10540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( x ^ 2 ) ) /\ ( ( y ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( y ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
25	18, 19, 22, 23, 24	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) ) )
26		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> x e. CC )
28		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
29	28	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> y e. CC )
30		sqeq0 12927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( x ^ 2 ) = 0 <-> x = 0 ) )
31		sqeq0 12927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> ( ( y ^ 2 ) = 0 <-> y = 0 ) )
32	30, 31	bi2anan9 917	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
33	27, 29, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) = 0 /\ ( y ^ 2 ) = 0 ) <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
34	25, 33	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 <-> ( x = 0 /\ y = 0 ) ) )
35	15, 34	mtbird 315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> -. ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 )
36		nn0addcl 11328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x ^ 2 ) e. NN0 /\ ( y ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
37	16, 20, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 )
39		elnn0 11294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN0 <-> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
40	38, 39	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN \/ ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
41	40	ord 392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( -. ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) = 0 ) )
42	35, 41	mt3d 140	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN )
43		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> ( z e. NN <-> ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) e. NN ) )
44	42, 43	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) /\ ( x gcd y ) = 1 ) -> ( z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) -> z e. NN ) )
45	44	expimpd 629	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN ) )
46	45	rexlimivv 3036	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. NN )
47	7, 46	elind 3798	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) -> z e. ( S i^i NN ) )
48	47	abssi 3677	. 2 |- { z | E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( ( x gcd y ) = 1 /\ z = ( ( x ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ) ) } C_ ( S i^i NN )
49	1, 48	eqsstri 3635	1 |- Y C_ ( S i^i NN )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ^cexp 12860   abscabs 13974   gcd cgcd 15216   ZZ[_i]cgz 15633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-gz 15634

This theorem is referenced by:  2sqlem8  25151  2sqlem9  25152