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Theorem addcos 14904
Description: Sum of cosines. (Contributed by Paul Chapman, 12-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
addcos |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Proof of Theorem addcos
StepHypRef Expression
1 coscl 14857 . . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
2 coscl 14857 . . 3 |- ( B e. CC -> ( cos ` B ) e. CC )
3 addcom 10222 . . 3 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` B ) e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
41, 2, 3syl2an 494 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
5 halfaddsub 11265 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A /\ ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B ) )
65simprd 479 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B )
76fveq2d 6195 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` B ) )
85simpld 475 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A )
98fveq2d 6195 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) )
107, 9oveq12d 6668 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( cos ` B ) + ( cos ` A ) ) )
11 halfaddsubcl 11264 . . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) )
12 coscl 14857 . . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
13 coscl 14857 . . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
14 mulcl 10020 . . . . . 6 |- ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1512, 13, 14syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
1611, 15syl 17 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
17 sincl 14856 . . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC )
18 sincl 14856 . . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC )
19 mulcl 10020 . . . . . 6 |- ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2017, 18, 19syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2111, 20syl 17 . . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC )
2216, 21, 16ppncand 10432 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
23 cossub 14899 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
24 cosadd 14895 . . . . 5 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
2523, 24oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
2611, 25syl 17 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) + ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) )
27162timesd 11275 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
2822, 26, 273eqtr4d 2666 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
294, 10, 283eqtr2d 2662 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` A ) + ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   sincsin 14794   cosccos 14795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801
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