Theorem divdird 10839

Description: Distribution of division over addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divassd.4	|- ( ph -> C =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
divdird	|- ( ph -> ( ( A + B ) / C ) = ( ( A / C ) + ( B / C ) ) )

Proof of Theorem divdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmuld.3	. 2 |- ( ph -> C e. CC )
4		divassd.4	. 2 |- ( ph -> C =/= 0 )
5		divdir 10710	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ ( C e. CC /\ C =/= 0 ) ) -> ( ( A + B ) / C ) = ( ( A / C ) + ( B / C ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1330	1 |- ( ph -> ( ( A + B ) / C ) = ( ( A / C ) + ( B / C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   / cdiv 10684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685

This theorem is referenced by:  zesq  12987  sqreulem  14099  bitsp1o  15155  bitsmod  15158  lcmgcdlem  15319  pythagtriplem19  15538  fldivp1  15601  mul4sqlem  15657  4sqlem17  15665  metnrmlem3  22664  pcoass  22824  ovollb2lem  23256  opnmbllem  23369  dvaddbr  23701  dvmulbr  23702  ftc1lem4  23802  vieta1lem2  24066  cosargd  24354  tanarg  24365  cxpaddle  24493  cxpeq  24498  dcubic1lem  24570  dcubic2  24571  mcubic  24574  cubic2  24575  dquartlem1  24578  dquart  24580  cosatan  24648  atantan  24650  dvatan  24662  jensenlem2  24714  logdifbnd  24720  emcllem3  24724  emcllem5  24726  dmgmdivn0  24754  lgamgulmlem2  24756  lgamgulmlem5  24759  lgamcvg2  24781  lgam1  24790  basellem3  24809  basellem8  24814  perfectlem2  24955  bclbnd  25005  lgseisenlem1  25100  lgsquad2lem1  25109  dchrvmasum2if  25186  selberg3  25248  selberg4  25250  selberg34r  25260  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntibndlem2  25280  brbtwn2  25785  axsegconlem10  25806  axeuclidlem  25842  axcontlem8  25851  dya2icoseg  30339  divcnvlin  31618  iprodgam  31628  knoppndvlem9  32511  bj-bary1lem  33160  bj-bary1  33162  poimirlem29  33438  opnmbllem0  33445  dvtan  33460  ftc1cnnclem  33483  dvasin  33496  areacirclem1  33500  reglogmul  37457  binomcxplemwb  38547  clim1fr1  39833  coseq0  40075  stirlinglem4  40294  stirlinglem6  40296  dirkerper  40313  dirkertrigeqlem3  40317  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem2  40321  fourierdlem4  40328  fourierdlem26  40350  fourierdlem42  40366  fourierdlem83  40406  fourierdlem112  40435  sqwvfourb  40446  etransclem44  40495  perfectALTVlem2  41631  cotsqcscsq  42503