Theorem axlowdimlem6 25827

Description: Lemma for axlowdim 25841. Show that three points are non-colinear. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axlowdimlem6.1	|- A = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )
axlowdimlem6.2	|- B = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )
axlowdimlem6.3	|- C = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem6	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) )

Proof of Theorem axlowdimlem6

Dummy variables i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. ZZ )
2		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ZZ )
3		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
4		uznnssnn 11735	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. NN -> ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ NN
6		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	5, 6	sseqtri 3637	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 2 ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
8	7	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
9		eluzle 11700	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> 1 <_ N )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 <_ N )
11		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
12	11	leidi 10562	. . . . . . 7 |- 1 <_ 1
13	10, 12	jctil 560	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ N ) )
14		elfz4 12335	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ N ) ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
15	1, 2, 1, 13, 14	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 e. ( 1 ... N ) )
16		eluzel2 11692	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. ZZ )
17		eluzle 11700	. . . . . . 7 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ N )
18		1le2 11241	. . . . . . 7 |- 1 <_ 2
19	17, 18	jctil 560	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ N ) )
20		elfz4 12335	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ N e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ N ) ) -> 2 e. ( 1 ... N ) )
21	1, 2, 16, 19, 20	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. ( 1 ... N ) )
22		ax-1ne0 10005	. . . . . . 7 |- 1 =/= 0
23		1t1e1 11175	. . . . . . . 8 |- ( 1 x. 1 ) = 1
24		0cn 10032	. . . . . . . . 9 |- 0 e. CC
25	24	mul01i 10226	. . . . . . . 8 |- ( 0 x. 0 ) = 0
26	23, 25	neeq12i 2860	. . . . . . 7 |- ( ( 1 x. 1 ) =/= ( 0 x. 0 ) <-> 1 =/= 0 )
27	22, 26	mpbir 221	. . . . . 6 |- ( 1 x. 1 ) =/= ( 0 x. 0 )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) )
29		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
30	11, 29	axlowdimlem4 25825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
31		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR -> { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 )
33		axlowdimlem1 25822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR
34		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) : ( 3 ... N ) --> RR -> ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N )
36		axlowdimlem2 25823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/)
37		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. ZZ
38		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
39	37, 38, 37	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 1 e. ZZ )
40	12, 18	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ 2 )
41		elfz4 12335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 1 /\ 1 <_ 2 ) ) -> 1 e. ( 1 ... 2 ) )
42	39, 40, 41	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. ( 1 ... 2 )
43	36, 42	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 1 e. ( 1 ... 2 ) )
44		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 ) /\ ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) /\ ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 1 e. ( 1 ... 2 ) ) ) -> ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 ) )
45	32, 35, 43, 44	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 )
46		1ne2 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 =/= 2
47		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
48	47, 47	fvpr1 6456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 ) = 1 )
49	46, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 ) = 1
50	45, 49	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = 1
51	28, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = 1 )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) )
53	29, 29	axlowdimlem4 25825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
54		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR -> { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 )
56		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 ) /\ ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) /\ ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 1 e. ( 1 ... 2 ) ) ) -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 ) )
57	55, 35, 43, 56	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 )
58	29	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
59	47, 58	fvpr1 6456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 ) = 0 )
60	46, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 1 ) = 0
61	57, 60	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = 0
62	52, 61	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = 0 )
63	51, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 1 -> ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) = ( 1 - 0 ) )
64		1m0e1 11131	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 0 ) = 1
65	63, 64	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) = 1 )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = 1 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) )
68	29, 11	axlowdimlem4 25825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR
69		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } : ( 1 ... 2 ) --> RR -> { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } Fn ( 1 ... 2 ) )
70	68, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } Fn ( 1 ... 2 )
71		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } Fn ( 1 ... 2 ) /\ ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) /\ ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 1 e. ( 1 ... 2 ) ) ) -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 1 ) )
72	70, 35, 43, 71	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 1 )
73	47, 58	fvpr1 6456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 1 ) = 0 )
74	46, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 1 ) = 0
75	72, 74	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 1 ) = 0
76	67, 75	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = 1 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) = 0 )
77	76, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( i = 1 -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) = ( 0 - 0 ) )
78		0m0e0 11130	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 - 0 ) = 0
79	77, 78	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( i = 1 -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) = 0 )
80	79	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( i = 1 -> ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. 0 ) )
81	66, 80	neeq12d 2855	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> ( 1 x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. 0 ) ) )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = 2 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) = ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) )
83	37, 38, 38	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ )
84		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
85	84	leidi 10562	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 <_ 2
86	18, 85	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ 2 )
87		elfz4 12335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ 2 ) ) -> 2 e. ( 1 ... 2 ) )
88	83, 86, 87	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ( 1 ... 2 )
89	36, 88	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 2 e. ( 1 ... 2 ) )
90		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } Fn ( 1 ... 2 ) /\ ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) /\ ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 2 e. ( 1 ... 2 ) ) ) -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 2 ) )
91	70, 35, 89, 90	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 2 )
92	38	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. _V
93	92, 47	fvpr2 6457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 2 ) = 1 )
94	46, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } ` 2 ) = 1
95	91, 94	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = 1
96	82, 95	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = 2 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) = 1 )
97		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = 2 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) = ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) )
98		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 ) /\ ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) /\ ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 2 e. ( 1 ... 2 ) ) ) -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 ) )
99	55, 35, 89, 98	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 )
100	92, 58	fvpr2 6457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 ) = 0 )
101	46, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 ) = 0
102	99, 101	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = 0
103	97, 102	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = 2 -> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) = 0 )
104	96, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 2 -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) = ( 1 - 0 ) )
105	104, 64	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( j = 2 -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) = 1 )
106	105	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( j = 2 -> ( 1 x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( 1 x. 1 ) )
107		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = 2 -> ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) = ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) )
108		fvun1 6269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } Fn ( 1 ... 2 ) /\ ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 3 ... N ) /\ ( ( ( 1 ... 2 ) i^i ( 3 ... N ) ) = (/) /\ 2 e. ( 1 ... 2 ) ) ) -> ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 ) )
109	32, 35, 89, 108	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 )
110	92, 58	fvpr2 6457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 =/= 2 -> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 ) = 0 )
111	46, 110	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } ` 2 ) = 0
112	109, 111	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` 2 ) = 0
113	107, 112	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = 2 -> ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) = 0 )
114	113, 103	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 2 -> ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) = ( 0 - 0 ) )
115	114, 78	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( j = 2 -> ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) = 0 )
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( j = 2 -> ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. 0 ) = ( 0 x. 0 ) )
117	106, 116	neeq12d 2855	. . . . . . 7 |- ( j = 2 -> ( ( 1 x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. 0 ) <-> ( 1 x. 1 ) =/= ( 0 x. 0 ) ) )
118	81, 117	rspc2ev 3324	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( 1 ... N ) /\ 2 e. ( 1 ... N ) /\ ( 1 x. 1 ) =/= ( 0 x. 0 ) ) -> E. i e. ( 1 ... N ) E. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
119	27, 118	mp3an3 1413	. . . . 5 |- ( ( 1 e. ( 1 ... N ) /\ 2 e. ( 1 ... N ) ) -> E. i e. ( 1 ... N ) E. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
120	15, 21, 119	syl2anc 693	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. i e. ( 1 ... N ) E. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
121		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> -. ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
122	121	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> E. j e. ( 1 ... N ) -. ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
123		rexnal 2995	. . . . . . 7 |- ( E. j e. ( 1 ... N ) -. ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> -. A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
124	122, 123	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> -. A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
125	124	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. i e. ( 1 ... N ) E. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> E. i e. ( 1 ... N ) -. A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
126		rexnal 2995	. . . . 5 |- ( E. i e. ( 1 ... N ) -. A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> -. A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
127	125, 126	bitri 264	. . . 4 |- ( E. i e. ( 1 ... N ) E. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) =/= ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) <-> -. A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
128	120, 127	sylib 208	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) )
129	29, 29	axlowdimlem5 25826	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) )
130	11, 29	axlowdimlem5 25826	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) )
131	29, 11	axlowdimlem5 25826	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) )
132		colinearalg 25790	. . . 4 |- ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) /\ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) /\ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) e. ( EE ` N ) ) -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) ) )
133	129, 130, 131, 132	syl3anc 1326	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) <-> A. i e. ( 1 ... N ) A. j e. ( 1 ... N ) ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) ) = ( ( ( ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` j ) ) x. ( ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) - ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) ` i ) ) ) ) )
134	128, 133	mtbird 315	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) )
135		axlowdimlem6.1	. . . 4 |- A = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )
136		axlowdimlem6.2	. . . . 5 |- B = ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )
137		axlowdimlem6.3	. . . . 5 |- C = ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) )
138	136, 137	opeq12i 4407	. . . 4 |- <. B , C >. = <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >.
139	135, 138	breq12i 4662	. . 3 |- ( A Btwn <. B , C >. <-> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. )
140	137, 135	opeq12i 4407	. . . 4 |- <. C , A >. = <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >.
141	136, 140	breq12i 4662	. . 3 |- ( B Btwn <. C , A >. <-> ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. )
142	135, 136	opeq12i 4407	. . . 4 |- <. A , B >. = <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >.
143	137, 142	breq12i 4662	. . 3 |- ( C Btwn <. A , B >. <-> ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. )
144	139, 141, 143	3orbi123i 1252	. 2 |- ( ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) <-> ( ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. \/ ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 1 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) Btwn <. ( { <. 1 , 0 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) , ( { <. 1 , 1 >. , <. 2 , 0 >. } u. ( ( 3 ... N ) X. { 0 } ) ) >. ) )
145	134, 144	sylnibr 319	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( A Btwn <. B , C >. \/ B Btwn <. C , A >. \/ C Btwn <. A , B >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   EEcee 25768   Btwn cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-ee 25771  df-btwn 25772

This theorem is referenced by:  axlowdim2  25840  axlowdim  25841