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Theorem ballotlemodife 30559
Description: Elements of ( O \ E ). (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m |- M e. NN
ballotth.n |- N e. NN
ballotth.o |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
Assertion
Ref Expression
ballotlemodife |- ( C e. ( O \ E ) <-> ( C e. O /\ E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 ) )
Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i   C, i
Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, c)   E( x, i, c)   F( x)   M( x)   N( x)   O( x)
Proof of Theorem ballotlemodife
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3584 . 2 |- ( C e. ( O \ E ) <-> ( C e. O /\ -. C e. E ) )
2 df-or 385 . . . 4 |- ( ( ( C e. O /\ -. C e. O ) \/ ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) <-> ( -. ( C e. O /\ -. C e. O ) -> ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) )
3 pm3.24 926 . . . . 5 |- -. ( C e. O /\ -. C e. O )
43a1bi 352 . . . 4 |- ( ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) <-> ( -. ( C e. O /\ -. C e. O ) -> ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) )
52, 4bitr4i 267 . . 3 |- ( ( ( C e. O /\ -. C e. O ) \/ ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) <-> ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
6 ballotth.m . . . . . . 7 |- M e. NN
7 ballotth.n . . . . . . 7 |- N e. NN
8 ballotth.o . . . . . . 7 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
9 ballotth.p . . . . . . 7 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
10 ballotth.f . . . . . . 7 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
11 ballotth.e . . . . . . 7 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
126, 7, 8, 9, 10, 11ballotleme 30558 . . . . . 6 |- ( C e. E <-> ( C e. O /\ A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
1312notbii 310 . . . . 5 |- ( -. C e. E <-> -. ( C e. O /\ A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
1413anbi2i 730 . . . 4 |- ( ( C e. O /\ -. C e. E ) <-> ( C e. O /\ -. ( C e. O /\ A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) )
15 ianor 509 . . . . 5 |- ( -. ( C e. O /\ A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) <-> ( -. C e. O \/ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
1615anbi2i 730 . . . 4 |- ( ( C e. O /\ -. ( C e. O /\ A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) <-> ( C e. O /\ ( -. C e. O \/ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) )
17 andi 911 . . . 4 |- ( ( C e. O /\ ( -. C e. O \/ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) <-> ( ( C e. O /\ -. C e. O ) \/ ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) )
1814, 16, 173bitri 286 . . 3 |- ( ( C e. O /\ -. C e. E ) <-> ( ( C e. O /\ -. C e. O ) \/ ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) ) )
19 0p1e1 11132 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) = 1
2019oveq1i 6660 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( M + N ) ) = ( 1 ... ( M + N ) )
21 0z 11388 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
22 fzp1ss 12392 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) )
2420, 23eqsstr3i 3636 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) )
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( C e. O -> ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
2625sseld 3602 . . . . . . . . 9 |- ( C e. O -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> i e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) )
2726imdistani 726 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. O /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( C e. O /\ i e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) )
28 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. O /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> C e. O )
29 elfzelz 12342 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> j e. ZZ )
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. O /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> j e. ZZ )
316, 7, 8, 9, 10, 28, 30ballotlemfelz 30552 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. O /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` j ) e. ZZ )
3231zred 11482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. O /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` j ) e. RR )
3332sbimi 1886 . . . . . . . . 9 |- ( [ i / j ] ( C e. O /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> [ i / j ] ( ( F ` C ) ` j ) e. RR )
34 sban 2399 . . . . . . . . . 10 |- ( [ i / j ] ( C e. O /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) <-> ( [ i / j ] C e. O /\ [ i / j ] j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) )
35 nfv 1843 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ j C e. O
3635sbf 2380 . . . . . . . . . . 11 |- ( [ i / j ] C e. O <-> C e. O )
37 clelsb3 2729 . . . . . . . . . . 11 |- ( [ i / j ] j e. ( 0 ... ( M + N ) ) <-> i e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
3836, 37anbi12i 733 . . . . . . . . . 10 |- ( ( [ i / j ] C e. O /\ [ i / j ] j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) <-> ( C e. O /\ i e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) )
3934, 38bitri 264 . . . . . . . . 9 |- ( [ i / j ] ( C e. O /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) <-> ( C e. O /\ i e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) )
40 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ j ( ( F ` C ) ` i ) e. RR
41 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> ( ( F ` C ) ` j ) = ( ( F ` C ) ` i ) )
4241eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( ( ( F ` C ) ` j ) e. RR <-> ( ( F ` C ) ` i ) e. RR ) )
4340, 42sbie 2408 . . . . . . . . 9 |- ( [ i / j ] ( ( F ` C ) ` j ) e. RR <-> ( ( F ` C ) ` i ) e. RR )
4433, 39, 433imtr3i 280 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. O /\ i e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` i ) e. RR )
4527, 44syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( C e. O /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` i ) e. RR )
46 0red 10041 . . . . . . 7 |- ( ( C e. O /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> 0 e. RR )
4745, 46lenltd 10183 . . . . . 6 |- ( ( C e. O /\ i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> -. 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
4847rexbidva 3049 . . . . 5 |- ( C e. O -> ( E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -. 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
49 rexnal 2995 . . . . 5 |- ( E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -. 0 < ( ( F ` C ) ` i ) <-> -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) )
5048, 49syl6bb 276 . . . 4 |- ( C e. O -> ( E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
5150pm5.32i 669 . . 3 |- ( ( C e. O /\ E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 ) <-> ( C e. O /\ -. A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` C ) ` i ) ) )
525, 18, 513bitr4i 292 . 2 |- ( ( C e. O /\ -. C e. E ) <-> ( C e. O /\ E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 ) )
531, 52bitri 264 1 |- ( C e. ( O \ E ) <-> ( C e. O /\ E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   [wsb 1880   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118
This theorem is referenced by:  ballotlem5  30561  ballotlemrc  30592
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