Theorem rpcnne0d 11881

Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpcnne0d	|- ( ph -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )

Proof of Theorem rpcnne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpcnd 11874	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
3	1	rpne0d 11877	. 2 |- ( ph -> A =/= 0 )
4	2, 3	jca 554	1 |- ( ph -> ( A e. CC /\ A =/= 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   CCcc 9934   0cc0 9936   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  expcnv  14596  mertenslem1  14616  divgcdcoprm0  15379  ovolscalem1  23281  aalioulem2  24088  aalioulem3  24089  dvsqrt  24483  cxpcn3lem  24488  relogbval  24510  relogbcl  24511  nnlogbexp  24519  divsqrtsumlem  24706  logexprlim  24950  2lgslem3b  25122  2lgslem3c  25123  2lgslem3d  25124  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  chtppilimlem1  25162  chtppilimlem2  25163  chebbnd2  25166  chpchtlim  25168  chpo1ub  25169  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrvmasumlem1  25184  dchrvmasum2lem  25185  dchrvmasumlem2  25187  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  dchrisum0lem3  25208  rplogsum  25216  mulogsum  25221  mulog2sumlem1  25223  selberglem1  25234  pntrmax  25253  pntpbnd1a  25274  pntibndlem2  25280  pntlemc  25284  pntlemb  25286  pntlemn  25289  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296  pnt2  25302  bcm1n  29554  jm2.21  37561  stoweidlem25  40242  stoweidlem42  40259  wallispilem4  40285  stirlinglem10  40300  fourierdlem39  40363  lighneallem3  41524  dignn0flhalflem1  42409  dignn0flhalflem2  42410