Theorem ballotlem2 30550

Description: The probability that the first vote picked in a count is a B. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlem2	|- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c, x

Allowed substitution hints:   P( x, c)   M( x)   N( x)

Proof of Theorem ballotlem2

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { c e. O | -. 1 e. c } C_ O
2		ballotth.m	. . . . . . 7 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . . 7 |- N e. NN
4		ballotth.o	. . . . . . 7 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
5	2, 3, 4	ballotlemoex 30547	. . . . . 6 |- O e. _V
6	5	elpw2 4828	. . . . 5 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O <-> { c e. O | -. 1 e. c } C_ O )
7	1, 6	mpbir 221	. . . 4 |- { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O
8		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( # ` x ) = ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( x = { c e. O | -. 1 e. c } -> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
10		ballotth.p	. . . . 5 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
11		ovex 6678	. . . . 5 |- ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) e. _V
12	9, 10, 11	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( { c e. O | -. 1 e. c } e. ~P O -> ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) )
13	7, 12	ax-mp 5	. . 3 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) )
14		an32 839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) /\ ( # ` c ) = M ) <-> ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` c ) = M ) /\ -. 1 e. c ) )
15		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
16		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) )
18		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) <-> ~P ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
19	17, 18	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~P ( 2 ... ( M + N ) ) C_ ~P ( 1 ... ( M + N ) )
20	19	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) -> c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) )
21		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 < 2
22		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
23		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
24	22, 23	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 < 2 <-> -. 2 <_ 1 )
25	21, 24	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -. 2 <_ 1
26		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ( 2 ... ( M + N ) ) -> 2 <_ 1 )
27	25, 26	mto 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -. 1 e. ( 2 ... ( M + N ) )
28		elelpwi 4171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) ) -> 1 e. ( 2 ... ( M + N ) ) )
29	27, 28	mto 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -. ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
30		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. c /\ c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) ) <-> ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ 1 e. c ) )
31	29, 30	mtbi 312	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ 1 e. c )
32	31	imnani 439	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) -> -. 1 e. c )
33	20, 32	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) -> ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) )
34		ssin 3835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c C_ { i | -. i = 1 } ) <-> c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) )
35		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 <_ 2
36		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 + 1 ) = 2
37		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
38	2, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 <_ M
39		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
40	3, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 <_ N
41	2	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- M e. RR
42	3	nnrei 11029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- N e. RR
43	22, 22, 41, 42	le2addi 10591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 1 <_ M /\ 1 <_ N ) -> ( 1 + 1 ) <_ ( M + N ) )
44	38, 40, 43	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 + 1 ) <_ ( M + N )
45	36, 44	eqbrtrri 4676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 <_ ( M + N )
46	41, 42	readdcli 10053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M + N ) e. RR
47	22, 23, 46	letri 10166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 <_ 2 /\ 2 <_ ( M + N ) ) -> 1 <_ ( M + N ) )
48	35, 45, 47	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 <_ ( M + N )
49		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. ZZ
50		nnaddcl 11042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
51	2, 3, 50	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( M + N ) e. NN
52	51	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M + N ) e. ZZ
53		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( M + N ) ) )
54	49, 52, 53	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( M + N ) )
55	48, 54	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 )
56		elfzp12 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) <-> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) ) )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) <-> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
58	57	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( i = 1 \/ i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) ) )
59	58	orcanai 952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) -> i e. ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) )
60	36	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 + 1 ) ... ( M + N ) ) = ( 2 ... ( M + N ) )
61	59, 60	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) -> i e. ( 2 ... ( M + N ) ) )
62	61	ss2abi 3674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) } C_ { i | i e. ( 2 ... ( M + N ) ) }
63		inab 3895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } i^i { i | -. i = 1 } ) = { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) }
64		abid2 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } = ( 1 ... ( M + N ) )
65	64	ineq1i 3810	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { i | i e. ( 1 ... ( M + N ) ) } i^i { i | -. i = 1 } ) = ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } )
66	63, 65	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i | ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. i = 1 ) } = ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } )
67		abid2 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { i | i e. ( 2 ... ( M + N ) ) } = ( 2 ... ( M + N ) )
68	62, 66, 67	3sstr3i 3643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) C_ ( 2 ... ( M + N ) )
69		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) /\ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) C_ ( 2 ... ( M + N ) ) ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
70	68, 69	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c C_ ( ( 1 ... ( M + N ) ) i^i { i | -. i = 1 } ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
71	34, 70	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c C_ { i | -. i = 1 } ) -> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
72		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) <-> c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
73		ssab 3672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c C_ { i | -. i = 1 } <-> A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) )
74		df-ex 1705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. i ( i = 1 /\ i e. c ) <-> -. A. i -. ( i = 1 /\ i e. c ) )
75	74	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A. i -. ( i = 1 /\ i e. c ) <-> E. i ( i = 1 /\ i e. c ) )
76	75	con1bii 346	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. E. i ( i = 1 /\ i e. c ) <-> A. i -. ( i = 1 /\ i e. c ) )
77		df-clel 2618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. c <-> E. i ( i = 1 /\ i e. c ) )
78	77	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. 1 e. c <-> -. E. i ( i = 1 /\ i e. c ) )
79		imnang 1769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) <-> A. i -. ( i e. c /\ i = 1 ) )
80		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i = 1 /\ i e. c ) <-> ( i e. c /\ i = 1 ) )
81	80	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( i = 1 /\ i e. c ) <-> -. ( i e. c /\ i = 1 ) )
82	81	albii 1747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. i -. ( i = 1 /\ i e. c ) <-> A. i -. ( i e. c /\ i = 1 ) )
83	79, 82	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) <-> A. i -. ( i = 1 /\ i e. c ) )
84	76, 78, 83	3bitr4ri 293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. i ( i e. c -> -. i = 1 ) <-> -. 1 e. c )
85	73, 84	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. 1 e. c <-> c C_ { i | -. i = 1 } )
86	72, 85	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) <-> ( c C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ c C_ { i | -. i = 1 } ) )
87		selpw 4165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) <-> c C_ ( 2 ... ( M + N ) ) )
88	71, 86, 87	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) -> c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) )
89	33, 88	impbii 199	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) <-> ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) )
90	89	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` c ) = M ) <-> ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ -. 1 e. c ) /\ ( # ` c ) = M ) )
91	4	rabeq2i 3197	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. O <-> ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` c ) = M ) )
92	91	anbi1i 731	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. O /\ -. 1 e. c ) <-> ( ( c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` c ) = M ) /\ -. 1 e. c ) )
93	14, 90, 92	3bitr4i 292	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` c ) = M ) <-> ( c e. O /\ -. 1 e. c ) )
94	93	abbii 2739	. . . . . . 7 |- { c | ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` c ) = M ) } = { c | ( c e. O /\ -. 1 e. c ) }
95		df-rab 2921	. . . . . . 7 |- { c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } = { c | ( c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` c ) = M ) }
96		df-rab 2921	. . . . . . 7 |- { c e. O | -. 1 e. c } = { c | ( c e. O /\ -. 1 e. c ) }
97	94, 95, 96	3eqtr4i 2654	. . . . . 6 |- { c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } = { c e. O | -. 1 e. c }
98	97	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( # ` { c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } ) = ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } )
99		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin
100	2	nnzi 11401	. . . . . . 7 |- M e. ZZ
101		hashbc 13237	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ M e. ZZ ) -> ( ( # ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = ( # ` { c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } ) )
102	99, 100, 101	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( # ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = ( # ` { c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } )
103		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
104	103	eluz1i 11695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( M + N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( M + N ) ) )
105	52, 45, 104	mpbir2an 955	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 )
106		hashfz 13214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( # ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) )
107	105, 106	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( # ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 )
108	2	nncni 11030	. . . . . . . . . . 11 |- M e. CC
109	3	nncni 11030	. . . . . . . . . . 11 |- N e. CC
110	108, 109	addcli 10044	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. CC
111		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
112		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
113		subadd23 10293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M + N ) e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) = ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) ) )
114	110, 111, 112, 113	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M + N ) - 2 ) + 1 ) = ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) )
115	111, 112	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 2 - 1 ) = ( 1 - 2 )
116		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 - 1 ) = 1
117	116	negeqi 10274	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 2 - 1 ) = -u 1
118	115, 117	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 2 ) = -u 1
119	118	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) + ( 1 - 2 ) ) = ( ( M + N ) + -u 1 )
120	107, 114, 119	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( M + N ) + -u 1 )
121	110, 112	negsubi 10359	. . . . . . . 8 |- ( ( M + N ) + -u 1 ) = ( ( M + N ) - 1 )
122	120, 121	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( # ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) = ( ( M + N ) - 1 )
123	122	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( # ` ( 2 ... ( M + N ) ) ) _C M ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
124	102, 123	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( # ` { c e. ~P ( 2 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M } ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
125	98, 124	eqtr3i 2646	. . . 4 |- ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M )
126	2, 3, 4	ballotlem1 30548	. . . 4 |- ( # ` O ) = ( ( M + N ) _C M )
127	125, 126	oveq12i 6662	. . 3 |- ( ( # ` { c e. O | -. 1 e. c } ) / ( # ` O ) ) = ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) )
128	13, 127	eqtri 2644	. 2 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) )
129		0le1 10551	. . . . 5 |- 0 <_ 1
130		0re 10040	. . . . . 6 |- 0 e. RR
131	130, 22, 41	letri 10166	. . . . 5 |- ( ( 0 <_ 1 /\ 1 <_ M ) -> 0 <_ M )
132	129, 38, 131	mp2an 708	. . . 4 |- 0 <_ M
133	3	nngt0i 11054	. . . . . 6 |- 0 < N
134	42, 133	elrpii 11835	. . . . 5 |- N e. RR+
135		ltaddrp 11867	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR+ ) -> M < ( M + N ) )
136	41, 134, 135	mp2an 708	. . . 4 |- M < ( M + N )
137		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
138		elfzm11 12411	. . . . 5 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < ( M + N ) ) ) )
139	137, 52, 138	mp2an 708	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M /\ M < ( M + N ) ) )
140	100, 132, 136, 139	mpbir3an 1244	. . 3 |- M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) )
141		bcm1n 29554	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... ( ( M + N ) - 1 ) ) /\ ( M + N ) e. NN ) -> ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) ) = ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) ) )
142	140, 51, 141	mp2an 708	. 2 |- ( ( ( ( M + N ) - 1 ) _C M ) / ( ( M + N ) _C M ) ) = ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) )
143		pncan2 10288	. . . 4 |- ( ( M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( M + N ) - M ) = N )
144	108, 109, 143	mp2an 708	. . 3 |- ( ( M + N ) - M ) = N
145	144	oveq1i 6660	. 2 |- ( ( ( M + N ) - M ) / ( M + N ) ) = ( N / ( M + N ) )
146	128, 142, 145	3eqtri 2648	1 |- ( P ` { c e. O | -. 1 e. c } ) = ( N / ( M + N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   _C cbc 13089   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotth  30599