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Theorem caucvgrlem 14403

Description: Lemma for caurcvgr 14404. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
caurcvgr.1
caurcvgr.2
caurcvgr.3
caurcvgr.4
caucvgrlem.4

**Assertion**
Ref	Expression
caucvgrlem	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem caucvgrlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caurcvgr.2	. . . . . . 7
2		caurcvgr.1	. . . . . . . 8
3		reex 10027	. . . . . . . . 9
4	3	ssex 4802	. . . . . . . 8
5	2, 4	syl 17	. . . . . . 7
6	3	a1i 11	. . . . . . 7
7		fex2 7121	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
8	1, 5, 6, 7	syl3anc 1326	. . . . . 6
9		limsupcl 14204	. . . . . 6
10	8, 9	syl 17	. . . . 5
11	10	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$
12	1	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
13		simprl 794	. . . . . 6 $/\$ $/\$
14	12, 13	ffvelrnd 6360	. . . . 5 $/\$ $/\$
15		caucvgrlem.4	. . . . . . 7
16	15	rpred 11872	. . . . . 6
17	16	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$
18	14, 17	readdcld 10069	. . . 4 $/\$ $/\$
19		mnfxr 10096	. . . . . 6
20	19	a1i 11	. . . . 5 $/\$ $/\$
21	14, 17	resubcld 10458	. . . . . 6 $/\$ $/\$
22	21	rexrd 10089	. . . . 5 $/\$ $/\$
23	21	mnfltd 11958	. . . . 5 $/\$ $/\$
24	2	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
25		ressxr 10083	. . . . . . . 8
26		fss 6056	. . . . . . . 8 $/\$
27	1, 25, 26	sylancl 694	. . . . . . 7
28	27	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
29		caurcvgr.3	. . . . . . 7
30	29	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
31	24, 13	sseldd 3604	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
32		simprr 796	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
33		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
37	36	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11
38	33, 37	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10
39	38	cbvralv 3171	. . . . . . . . 9
40	32, 39	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
41	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
42	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
43	41, 42	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
46	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
47		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
49	41, 42, 46	absdifled 14173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	48, 49	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	50, 51	syl6 35	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	imim2d 57	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
54	53	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	40, 54	mpd 15	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
56		breq1 4656	. . . . . . . . . 10
57	56	imbi1d 331	. . . . . . . . 9
58	57	ralbidv 2986	. . . . . . . 8
59	58	rspcev 3309	. . . . . . 7 $/\$
60	31, 55, 59	syl2anc 693	. . . . . 6 $/\$ $/\$
61	24, 28, 22, 30, 60	limsupbnd2 14214	. . . . 5 $/\$ $/\$
62	20, 22, 11, 23, 61	xrltletrd 11992	. . . 4 $/\$ $/\$
63	18	rexrd 10089	. . . . 5 $/\$ $/\$
64	45	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	38	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12
70	66, 67, 68, 69	syl3c 66	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	64, 65, 70	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	41	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	72, 73, 65	absdifled 14173	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	71, 74	mpbid 222	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	simprd 479	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	76	expr 643	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
78	77	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $/\$ $/\$
79	56	imbi1d 331	. . . . . . . 8
80	79	ralbidv 2986	. . . . . . 7
81	80	rspcev 3309	. . . . . 6 $/\$
82	31, 78, 81	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$
83	24, 28, 63, 82	limsupbnd1 14213	. . . 4 $/\$ $/\$
84		xrre 12000	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
85	11, 18, 62, 83, 84	syl22anc 1327	. . 3 $/\$ $/\$
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	72, 86	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	88	abscld 14175	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
90		2re 11090	. . . . . . . 8
91		remulcl 10021	. . . . . . . 8 $/\$
92	90, 65, 91	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93		3re 11094	. . . . . . . 8
94		remulcl 10021	. . . . . . . 8 $/\$
95	93, 65, 94	sylancr 695	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	72	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	86	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	abssubd 14192	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	72, 92	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	96, 101, 101	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	103, 104	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	72, 65	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	72, 65, 73	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	76, 107	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	106, 73, 65, 108	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	105, 109	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	99, 100, 86, 110, 111	letrd 10194	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	18	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	72, 92	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	83	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	72, 65	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117	75, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	73, 65, 72	lesubaddd 10624	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	117, 118	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	73, 116, 65, 119	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	96, 101, 101	addassd 10062	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	121, 122	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	120, 123	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	86, 113, 114, 115, 124	letrd 10194	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	86, 72, 92	absdifled 14173	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	112, 125, 126	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	98, 127	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129		2lt3 11195	. . . . . . . 8
130	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
133	132	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	130, 131, 133	ltmul1d 11913	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	129, 134	mpbii 223	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	89, 92, 95, 128, 135	lelttrd 10195	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	expr 643	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	ralrimiva 2966	. . . 4 $/\$ $/\$
139	34	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
140	139	fveq2d 6195	. . . . . . 7
141	140	breq1d 4663	. . . . . 6
142	33, 141	imbi12d 334	. . . . 5
143	142	cbvralv 3171	. . . 4
144	138, 143	sylibr 224	. . 3 $/\$ $/\$
145	85, 144	jca 554	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
146		caurcvgr.4	. . 3
147		breq2 4657	. . . . . 6
148	147	imbi2d 330	. . . . 5
149	148	rexralbidv 3058	. . . 4
150	149	rspcv 3305	. . 3
151	15, 146, 150	sylc 65	. 2
152	145, 151	reximddv 3018	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

wss 3574 class class class wbr 4653

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

csup 8346

cr 9935

caddc 9939

cmul 9941

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

c2 11070

c3 11071

crp 11832

cabs 13974

clsp 14201

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202

This theorem is referenced by: caurcvgr 14404

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