Theorem stoweidlem50 40267

Description: This lemma proves that sets U(t) as defined in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90, contain a finite subcover of T \ U. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem50.1	|- F/_ t U
stoweidlem50.2	|- F/ t ph
stoweidlem50.3	|- K = ( topGen ` ran (,) )
stoweidlem50.4	|- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
stoweidlem50.5	|- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
stoweidlem50.6	|- T = U. J
stoweidlem50.7	|- C = ( J Cn K )
stoweidlem50.8	|- ( ph -> J e. Comp )
stoweidlem50.9	|- ( ph -> A C_ C )
stoweidlem50.10	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.11	|- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
stoweidlem50.12	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
stoweidlem50.13	|- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
stoweidlem50.14	|- ( ph -> U e. J )
stoweidlem50.15	|- ( ph -> Z e. U )

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem50	|- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Distinct variable groups:   u, J   u, T   u, U   u, W   f, g, h, t, T   f, q, g, t, T   f, r, A, q, t   x, f, q, t, T   Q, f, g   U, f, g, q   f, Z, g, h, t   ph, f, g, q   w, g, h, t, T   A, g, h   g, W   Z, q, x   T, r   U, r   ph, r   t, J, w   t, K   ph, u   w, Q   x, A   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( w, t, h)   A( w, u)   C( x, w, u, t, f, g, h, r, q)   Q( x, u, t, h, r, q)   U( w, t, h)   J( x, f, g, h, r, q)   K( x, w, u, f, g, h, r, q)   W( x, w, t, f, h, r, q)   Z( w, u, r)

Proof of Theorem stoweidlem50

Dummy variable c is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem50.1	. . 3 |- F/_ t U
2		stoweidlem50.4	. . . 4 |- Q = { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
3		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ h { h e. A | ( ( h ` Z ) = 0 /\ A. t e. T ( 0 <_ ( h ` t ) /\ ( h ` t ) <_ 1 ) ) }
4	2, 3	nfcxfr 2762	. . 3 |- F/_ h Q
5		nfv 1843	. . 3 |- F/ q ph
6		stoweidlem50.2	. . 3 |- F/ t ph
7		stoweidlem50.3	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
8		stoweidlem50.5	. . 3 |- W = { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } }
9		stoweidlem50.6	. . 3 |- T = U. J
10		stoweidlem50.8	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
11		stoweidlem50.9	. . . 4 |- ( ph -> A C_ C )
12		stoweidlem50.7	. . . 4 |- C = ( J Cn K )
13	11, 12	syl6sseq 3651	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( J Cn K ) )
14		stoweidlem50.10	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) + ( g ` t ) ) ) e. A )
15		stoweidlem50.11	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. A /\ g e. A ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. A )
16		stoweidlem50.12	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( t e. T |-> x ) e. A )
17		stoweidlem50.13	. . 3 |- ( ( ph /\ ( r e. T /\ t e. T /\ r =/= t ) ) -> E. q e. A ( q ` r ) =/= ( q ` t ) )
18		stoweidlem50.14	. . 3 |- ( ph -> U e. J )
19		stoweidlem50.15	. . 3 |- ( ph -> Z e. U )
20		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
21	10, 20	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> U. J e. _V )
22	9, 21	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
23	1, 4, 5, 6, 7, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22	stoweidlem46 40263	. 2 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ U. W )
24		dfin4 3867	. . . . . . . . . . 11 |- ( T i^i U ) = ( T \ ( T \ U ) )
25		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. J -> U C_ U. J )
26	18, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U C_ U. J )
27	26, 9	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U C_ T )
28		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U C_ T <-> ( T i^i U ) = U )
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( T i^i U ) = U )
30	24, 29	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) = U )
31	30, 18	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T \ ( T \ U ) ) e. J )
32		cmptop 21198	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
33	10, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. Top )
34		difssd 3738	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T \ U ) C_ T )
35	9	iscld2 20832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) <-> ( T \ ( T \ U ) ) e. J ) )
37	31, 36	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) )
38		cmpcld 21205	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Comp /\ ( T \ U ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
39	10, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp )
40	9	cmpsub 21203	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( T \ U ) C_ T ) -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
41	33, 34, 40	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( J ↾t ( T \ U ) ) e. Comp <-> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
42	39, 41	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
43		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { w e. J | E. h e. Q w = { t e. T | 0 < ( h ` t ) } } C_ J
44	8, 43	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- W C_ J
45	8, 10	rabexd 4814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. _V )
46		elpwg 4166	. . . . . . . 8 |- ( W e. _V -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W e. ~P J <-> W C_ J ) )
48	44, 47	mpbiri 248	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ~P J )
49		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> U. c = U. W )
50	49	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( ( T \ U ) C_ U. c <-> ( T \ U ) C_ U. W ) )
51		pweq 4161	. . . . . . . . . 10 |- ( c = W -> ~P c = ~P W )
52	51	ineq1d 3813	. . . . . . . . 9 |- ( c = W -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P W i^i Fin ) )
53	52	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 |- ( c = W -> ( E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
54	50, 53	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( c = W -> ( ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) <-> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
55	54	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P J ( ( T \ U ) C_ U. c -> E. u e. ( ~P c i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) /\ W e. ~P J ) -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
56	42, 48, 55	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( T \ U ) C_ U. W -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u ) )
57	56	imp 445	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u )
58		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. u e. ( ~P W i^i Fin ) ( T \ U ) C_ U. u <-> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
59	57, 58	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
60		elinel2 3800	. . . . . . 7 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. Fin )
61	60	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. Fin )
62		elinel1 3799	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P W i^i Fin ) -> u e. ~P W )
63	62	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u e. ~P W )
64	63	elpwid 4170	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> u C_ W )
65		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( T \ U ) C_ U. u )
66	61, 64, 65	3jca 1242	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) /\ ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
67	66	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
68	67	eximdv 1846	. . 3 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> ( E. u ( u e. ( ~P W i^i Fin ) /\ ( T \ U ) C_ U. u ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) ) )
69	59, 68	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( T \ U ) C_ U. W ) -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )
70	23, 69	mpdan 702	1 |- ( ph -> E. u ( u e. Fin /\ u C_ W /\ ( T \ U ) C_ U. u ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  stoweidlem53  40270