Theorem cnpconn 31212

Description: An image of a path-connected space is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnpconn.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnpconn	|- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. PConn )

Proof of Theorem cnpconn

Dummy variables f g u v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntop2 21045	. . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
2	1	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
3		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
4	3	pconncn 31206	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. PConn /\ u e. U. J /\ v e. U. J ) -> E. g e. ( II Cn J ) ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) )
5	4	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PConn /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) -> E. g e. ( II Cn J ) ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) )
6	5	3ad2antl1 1223	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) -> E. g e. ( II Cn J ) ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) )
7		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> g e. ( II Cn J ) )
8		simpll3 1102	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
9		cnco 21070	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. g ) e. ( II Cn K ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( F o. g ) e. ( II Cn K ) )
11		iiuni 22684	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
12	11, 3	cnf 21050	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( II Cn J ) -> g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
13	7, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J )
14		0elunit 12290	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
15		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. g ) ` 0 ) = ( F ` ( g ` 0 ) ) )
16	13, 14, 15	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` 0 ) = ( F ` ( g ` 0 ) ) )
17		simprrl 804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( g ` 0 ) = u )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( F ` ( g ` 0 ) ) = ( F ` u ) )
19	16, 18	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` 0 ) = ( F ` u ) )
20		1elunit 12291	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
21		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( g : ( 0 [,] 1 ) --> U. J /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. g ) ` 1 ) = ( F ` ( g ` 1 ) ) )
22	13, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` 1 ) = ( F ` ( g ` 1 ) ) )
23		simprrr 805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( g ` 1 ) = v )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( F ` ( g ` 1 ) ) = ( F ` v ) )
25	22, 24	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> ( ( F o. g ) ` 1 ) = ( F ` v ) )
26		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` 0 ) = ( ( F o. g ) ` 0 ) )
27	26	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) <-> ( ( F o. g ) ` 0 ) = ( F ` u ) ) )
28		fveq1 6190	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F o. g ) -> ( f ` 1 ) = ( ( F o. g ) ` 1 ) )
29	28	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( f ` 1 ) = ( F ` v ) <-> ( ( F o. g ) ` 1 ) = ( F ` v ) ) )
30	27, 29	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( f = ( F o. g ) -> ( ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) <-> ( ( ( F o. g ) ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( ( F o. g ) ` 1 ) = ( F ` v ) ) ) )
31	30	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. g ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( ( F o. g ) ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( ( F o. g ) ` 1 ) = ( F ` v ) ) ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) )
32	10, 19, 25, 31	syl12anc 1324	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) /\ ( g e. ( II Cn J ) /\ ( ( g ` 0 ) = u /\ ( g ` 1 ) = v ) ) ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) )
33	6, 32	rexlimddv 3035	. . . . 5 |- ( ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( u e. U. J /\ v e. U. J ) ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) )
34	33	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. u e. U. J A. v e. U. J E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) )
35		cnpconn.2	. . . . . . . . 9 |- Y = U. K
36	3, 35	cnf 21050	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> Y )
37	36	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : U. J --> Y )
38		forn 6118	. . . . . . . 8 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ran F = Y )
40		dffo2 6119	. . . . . . 7 |- ( F : U. J -onto-> Y <-> ( F : U. J --> Y /\ ran F = Y ) )
41	37, 39, 40	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : U. J -onto-> Y )
42		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` v ) = y -> ( ( f ` 1 ) = ( F ` v ) <-> ( f ` 1 ) = y ) )
43	42	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` v ) = y -> ( ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) <-> ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
44	43	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ( F ` v ) = y -> ( E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) <-> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
45	44	cbvfo 6544	. . . . . 6 |- ( F : U. J -onto-> Y -> ( A. v e. U. J E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) <-> A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
46	41, 45	syl 17	. . . . 5 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. v e. U. J E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) <-> A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
47	46	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. u e. U. J A. v e. U. J E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = ( F ` v ) ) <-> A. u e. U. J A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
48	34, 47	mpbid 222	. . 3 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. u e. U. J A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) )
49		eqeq2 2633	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` u ) = x -> ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) <-> ( f ` 0 ) = x ) )
50	49	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( ( F ` u ) = x -> ( ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
51	50	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( ( F ` u ) = x -> ( E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
52	51	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( F ` u ) = x -> ( A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
53	52	cbvfo 6544	. . . 4 |- ( F : U. J -onto-> Y -> ( A. u e. U. J A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> A. x e. Y A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
54	41, 53	syl 17	. . 3 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( A. u e. U. J A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = ( F ` u ) /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> A. x e. Y A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
55	48, 54	mpbid 222	. 2 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. Y A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
56	35	ispconn 31205	. 2 |- ( K e. PConn <-> ( K e. Top /\ A. x e. Y A. y e. Y E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
57	2, 55, 56	sylanbrc 698	1 |- ( ( J e. PConn /\ F : X -onto-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. PConn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   U.cuni 4436   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   Topctop 20698   Cn ccn 21028   IIcii 22678  PConncpconn 31201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-ii 22680  df-pconn 31203

This theorem is referenced by:  qtoppconn  31218