Theorem cvmlift3lem6 31306

Description: Lemma for cvmlift3 31310. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	|- B = U. C
cvmlift3.y	|- Y = U. K
cvmlift3.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmlift3.k	|- ( ph -> K e. SConn )
cvmlift3.l	|- ( ph -> K e. 𝑛Locally PConn )
cvmlift3.o	|- ( ph -> O e. Y )
cvmlift3.g	|- ( ph -> G e. ( K Cn J ) )
cvmlift3.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmlift3.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
cvmlift3.h	|- H = ( x e. Y |-> ( iota_ z e. B E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = x /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = z ) ) )
cvmlift3lem7.s	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmlift3lem7.1	|- ( ph -> ( G ` X ) e. A )
cvmlift3lem7.2	|- ( ph -> T e. ( S ` A ) )
cvmlift3lem7.3	|- ( ph -> M C_ ( `' G " A ) )
cvmlift3lem7.w	|- W = ( iota_ b e. T ( H ` X ) e. b )
cvmlift3lem6.x	|- ( ph -> X e. M )
cvmlift3lem6.z	|- ( ph -> Z e. M )
cvmlift3lem6.q	|- ( ph -> Q e. ( II Cn K ) )
cvmlift3lem6.r	|- R = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. Q ) /\ ( g ` 0 ) = P ) )
cvmlift3lem6.1	|- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = O /\ ( Q ` 1 ) = X /\ ( R ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
cvmlift3lem6.n	|- ( ph -> N e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) )
cvmlift3lem6.2	|- ( ph -> ( ( N ` 0 ) = X /\ ( N ` 1 ) = Z ) )
cvmlift3lem6.i	|- I = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. N ) /\ ( g ` 0 ) = ( H ` X ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem6	|- ( ph -> ( H ` Z ) e. W )

Distinct variable groups:   b, c, d, f, k, s, z, A   f, g, I, z   g, b, x, J, c, d, f, k, s   F, b, c, d, f, g, k, s   x, z, F   f, M, g, x   f, N, g   H, b, c, d, f, g, x, z   Q, f, g   S, b, f, x   B, b, d, f, g, x, z   R, g   X, b, c, d, f, g, x, z   G, b, c, d, f, g, k, x, z   T, b, c, d, s   f, Z, g, x, z   C, b, c, d, f, g, k, s, x, z   ph, f, x   K, b, c, f, g, x, z   P, b, c, d, f, g, x, z   O, b, c, f, g, x, z   f, Y, g, x, z   W, c, d, f, x

Allowed substitution hints:   ph( z, g, k, s, b, c, d)   A( x, g)   B( k, s, c)   P( k, s)   Q( x, z, k, s, b, c, d)   R( x, z, f, k, s, b, c, d)   S( z, g, k, s, c, d)   T( x, z, f, g, k)   G( s)   H( k, s)   I( x, k, s, b, c, d)   J( z)   K( k, s, d)   M( z, k, s, b, c, d)   N( x, z, k, s, b, c, d)   O( k, s, d)   W( z, g, k, s, b)   X( k, s)   Y( k, s, b, c, d)   Z( k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3lem6.q	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. ( II Cn K ) )
2		cvmlift3.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. SConn )
3		sconntop 31210	. . . . . . . 8 |- ( K e. SConn -> K e. Top )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. Top )
5		cnrest2r 21091	. . . . . . 7 |- ( K e. Top -> ( II Cn ( K ↾t M ) ) C_ ( II Cn K ) )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( II Cn ( K ↾t M ) ) C_ ( II Cn K ) )
7		cvmlift3lem6.n	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) )
8	6, 7	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( II Cn K ) )
9		cvmlift3lem6.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q ` 0 ) = O /\ ( Q ` 1 ) = X /\ ( R ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
10	9	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q ` 1 ) = X )
11		cvmlift3lem6.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( N ` 0 ) = X /\ ( N ` 1 ) = Z ) )
12	11	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( N ` 0 ) = X )
13	10, 12	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` 1 ) = ( N ` 0 ) )
14	1, 8, 13	pcocn 22817	. . . 4 |- ( ph -> ( Q ( *p ` K ) N ) e. ( II Cn K ) )
15	1, 8	pco0 22814	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) = ( Q ` 0 ) )
16	9	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` 0 ) = O )
17	15, 16	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) = O )
18	1, 8	pco1 22815	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 1 ) = ( N ` 1 ) )
19	11	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` 1 ) = Z )
20	18, 19	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 1 ) = Z )
21		cvmlift3.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = U. C
22		cvmlift3lem6.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. Q ) /\ ( g ` 0 ) = P ) )
23		cvmlift3.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
24		cvmlift3.g	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G e. ( K Cn J ) )
25		cnco 21070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. ( II Cn K ) /\ G e. ( K Cn J ) ) -> ( G o. Q ) e. ( II Cn J ) )
26	1, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G o. Q ) e. ( II Cn J ) )
27		cvmlift3.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. B )
28	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ` ( Q ` 0 ) ) = ( G ` O ) )
29		iiuni 22684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
30		cvmlift3.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Y = U. K
31	29, 30	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Q e. ( II Cn K ) -> Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
32	1, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
33		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
34		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Q : ( 0 [,] 1 ) --> Y /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( G o. Q ) ` 0 ) = ( G ` ( Q ` 0 ) ) )
35	32, 33, 34	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G o. Q ) ` 0 ) = ( G ` ( Q ` 0 ) ) )
36		cvmlift3.e	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
37	28, 35, 36	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( ( G o. Q ) ` 0 ) )
38	21, 22, 23, 26, 27, 37	cvmliftiota 31283	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R e. ( II Cn C ) /\ ( F o. R ) = ( G o. Q ) /\ ( R ` 0 ) = P ) )
39	38	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F o. R ) = ( G o. Q ) )
40		cvmlift3lem6.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. N ) /\ ( g ` 0 ) = ( H ` X ) ) )
41		cnco 21070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( II Cn K ) /\ G e. ( K Cn J ) ) -> ( G o. N ) e. ( II Cn J ) )
42	8, 24, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G o. N ) e. ( II Cn J ) )
43		cvmlift3.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. 𝑛Locally PConn )
44		cvmlift3.o	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> O e. Y )
45		cvmlift3.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( x e. Y |-> ( iota_ z e. B E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = x /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = z ) ) )
46	21, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45	cvmlift3lem3 31303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H : Y --> B )
47		cvmlift3lem7.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M C_ ( `' G " A ) )
48		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' G " A ) C_ dom G
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. J = U. J
50	30, 49	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G e. ( K Cn J ) -> G : Y --> U. J )
51	24, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> G : Y --> U. J )
52		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : Y --> U. J -> dom G = Y )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> dom G = Y )
54	48, 53	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' G " A ) C_ Y )
55	47, 54	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M C_ Y )
56		cvmlift3lem6.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. M )
57	55, 56	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. Y )
58	46, 57	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( H ` X ) e. B )
59	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G ` ( N ` 0 ) ) = ( G ` X ) )
60	29, 30	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( II Cn K ) -> N : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
61	8, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
62		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N : ( 0 [,] 1 ) --> Y /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( G o. N ) ` 0 ) = ( G ` ( N ` 0 ) ) )
63	61, 33, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( G o. N ) ` 0 ) = ( G ` ( N ` 0 ) ) )
64		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( H : Y --> B /\ X e. Y ) -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( F ` ( H ` X ) ) )
65	46, 57, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( F ` ( H ` X ) ) )
66	21, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45	cvmlift3lem5 31305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F o. H ) = G )
67	66	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( G ` X ) )
68	65, 67	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` ( H ` X ) ) = ( G ` X ) )
69	59, 63, 68	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` ( H ` X ) ) = ( ( G o. N ) ` 0 ) )
70	21, 40, 23, 42, 58, 69	cvmliftiota 31283	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I e. ( II Cn C ) /\ ( F o. I ) = ( G o. N ) /\ ( I ` 0 ) = ( H ` X ) ) )
71	70	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F o. I ) = ( G o. N ) )
72	39, 71	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F o. R ) ( *p ` J ) ( F o. I ) ) = ( ( G o. Q ) ( *p ` J ) ( G o. N ) ) )
73	38	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. ( II Cn C ) )
74	70	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( II Cn C ) )
75	9	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R ` 1 ) = ( H ` X ) )
76	70	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` 0 ) = ( H ` X ) )
77	75, 76	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( R ` 1 ) = ( I ` 0 ) )
78		cvmcn 31244	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
79	23, 78	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( C Cn J ) )
80	73, 74, 77, 79	copco 22818	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F o. ( R ( *p ` C ) I ) ) = ( ( F o. R ) ( *p ` J ) ( F o. I ) ) )
81	1, 8, 13, 24	copco 22818	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) = ( ( G o. Q ) ( *p ` J ) ( G o. N ) ) )
82	72, 80, 81	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F o. ( R ( *p ` C ) I ) ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) )
83	73, 74	pco0 22814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 0 ) = ( R ` 0 ) )
84	38	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R ` 0 ) = P )
85	83, 84	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 0 ) = P )
86	73, 74, 77	pcocn 22817	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R ( *p ` C ) I ) e. ( II Cn C ) )
87		cnco 21070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Q ( *p ` K ) N ) e. ( II Cn K ) /\ G e. ( K Cn J ) ) -> ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) e. ( II Cn J ) )
88	14, 24, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) e. ( II Cn J ) )
89	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) ) = ( G ` O ) )
90	29, 30	cnf 21050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ( *p ` K ) N ) e. ( II Cn K ) -> ( Q ( *p ` K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
91	14, 90	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q ( *p ` K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
92		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ( *p ` K ) N ) : ( 0 [,] 1 ) --> Y /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) ` 0 ) = ( G ` ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) ) )
93	91, 33, 92	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) ` 0 ) = ( G ` ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) ) )
94	89, 93, 36	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) ` 0 ) )
95	21	cvmlift 31281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) e. ( II Cn J ) ) /\ ( P e. B /\ ( F ` P ) = ( ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) ` 0 ) ) ) -> E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) )
96	23, 88, 27, 94, 95	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) )
97		coeq2 5280	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( R ( *p ` C ) I ) -> ( F o. g ) = ( F o. ( R ( *p ` C ) I ) ) )
98	97	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( R ( *p ` C ) I ) -> ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) <-> ( F o. ( R ( *p ` C ) I ) ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) ) )
99		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( R ( *p ` C ) I ) -> ( g ` 0 ) = ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 0 ) )
100	99	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( g = ( R ( *p ` C ) I ) -> ( ( g ` 0 ) = P <-> ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 0 ) = P ) )
101	98, 100	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( g = ( R ( *p ` C ) I ) -> ( ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. ( R ( *p ` C ) I ) ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 0 ) = P ) ) )
102	101	riota2 6633	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ( *p ` C ) I ) e. ( II Cn C ) /\ E! g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) -> ( ( ( F o. ( R ( *p ` C ) I ) ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 0 ) = P ) <-> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) = ( R ( *p ` C ) I ) ) )
103	86, 96, 102	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( F o. ( R ( *p ` C ) I ) ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 0 ) = P ) <-> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) = ( R ( *p ` C ) I ) ) )
104	82, 85, 103	mpbi2and 956	. . . . . 6 |- ( ph -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) = ( R ( *p ` C ) I ) )
105	104	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 1 ) )
106	73, 74	pco1 22815	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( R ( *p ` C ) I ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) )
107	105, 106	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) )
108		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( f ` 0 ) = ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) )
109	108	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( ( f ` 0 ) = O <-> ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) = O ) )
110		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( f ` 1 ) = ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 1 ) )
111	110	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( ( f ` 1 ) = Z <-> ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 1 ) = Z ) )
112		coeq2 5280	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( G o. f ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) )
113	112	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( ( F o. g ) = ( G o. f ) <-> ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) ) )
114	113	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) )
115	114	riotabidv 6613	. . . . . . . 8 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) )
116	115	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) )
117	116	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) <-> ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) )
118	109, 111, 117	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( f = ( Q ( *p ` K ) N ) -> ( ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = Z /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) <-> ( ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) = O /\ ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 1 ) = Z /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) ) )
119	118	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( ( Q ( *p ` K ) N ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 0 ) = O /\ ( ( Q ( *p ` K ) N ) ` 1 ) = Z /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. ( Q ( *p ` K ) N ) ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = Z /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) )
120	14, 17, 20, 107, 119	syl13anc 1328	. . 3 |- ( ph -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = Z /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) )
121		cvmlift3lem6.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. M )
122	55, 121	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> Z e. Y )
123	21, 30, 23, 2, 43, 44, 24, 27, 36, 45	cvmlift3lem4 31304	. . . 4 |- ( ( ph /\ Z e. Y ) -> ( ( H ` Z ) = ( I ` 1 ) <-> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = Z /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) ) )
124	122, 123	mpdan 702	. . 3 |- ( ph -> ( ( H ` Z ) = ( I ` 1 ) <-> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = Z /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( I ` 1 ) ) ) )
125	120, 124	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( H ` Z ) = ( I ` 1 ) )
126		iiconn 22690	. . . . 5 |- II e. Conn
127	126	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. Conn )
128		cvmtop1 31242	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> C e. Top )
129	23, 128	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Top )
130	21	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( C e. Top <-> C e. (TopOn ` B ) )
131	129, 130	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. (TopOn ` B ) )
132	71	rneqd 5353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( F o. I ) = ran ( G o. N ) )
133		rnco2 5642	. . . . . . . . 9 |- ran ( F o. I ) = ( F " ran I )
134		rnco2 5642	. . . . . . . . 9 |- ran ( G o. N ) = ( G " ran N )
135	132, 133, 134	3eqtr3g 2679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F " ran I ) = ( G " ran N ) )
136		iitopon 22682	. . . . . . . . . . . . 13 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
138	30	toptopon 20722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
139	4, 138	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
140		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ M C_ Y ) -> ( K ↾t M ) e. (TopOn ` M ) )
141	139, 55, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ↾t M ) e. (TopOn ` M ) )
142		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( K ↾t M ) e. (TopOn ` M ) /\ N e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) -> N : ( 0 [,] 1 ) --> M )
143	137, 141, 7, 142	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N : ( 0 [,] 1 ) --> M )
144		frn 6053	. . . . . . . . . . 11 |- ( N : ( 0 [,] 1 ) --> M -> ran N C_ M )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran N C_ M )
146	145, 47	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran N C_ ( `' G " A ) )
147		ffun 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : Y --> U. J -> Fun G )
148	51, 147	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun G )
149	146, 48	syl6ss 3615	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran N C_ dom G )
150		funimass3 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun G /\ ran N C_ dom G ) -> ( ( G " ran N ) C_ A <-> ran N C_ ( `' G " A ) ) )
151	148, 149, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( G " ran N ) C_ A <-> ran N C_ ( `' G " A ) ) )
152	146, 151	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G " ran N ) C_ A )
153	135, 152	eqsstrd 3639	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F " ran I ) C_ A )
154	21, 49	cnf 21050	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> U. J )
155	79, 154	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : B --> U. J )
156		ffun 6048	. . . . . . . . 9 |- ( F : B --> U. J -> Fun F )
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
158	29, 21	cnf 21050	. . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ( II Cn C ) -> I : ( 0 [,] 1 ) --> B )
159	74, 158	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I : ( 0 [,] 1 ) --> B )
160		frn 6053	. . . . . . . . . 10 |- ( I : ( 0 [,] 1 ) --> B -> ran I C_ B )
161	159, 160	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran I C_ B )
162		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 |- ( F : B --> U. J -> dom F = B )
163	155, 162	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = B )
164	161, 163	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran I C_ dom F )
165		funimass3 6333	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ran I C_ dom F ) -> ( ( F " ran I ) C_ A <-> ran I C_ ( `' F " A ) ) )
166	157, 164, 165	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F " ran I ) C_ A <-> ran I C_ ( `' F " A ) ) )
167	153, 166	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ran I C_ ( `' F " A ) )
168		cnvimass 5485	. . . . . . 7 |- ( `' F " A ) C_ dom F
169	168, 163	syl5sseq 3653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' F " A ) C_ B )
170		cnrest2 21090	. . . . . 6 |- ( ( C e. (TopOn ` B ) /\ ran I C_ ( `' F " A ) /\ ( `' F " A ) C_ B ) -> ( I e. ( II Cn C ) <-> I e. ( II Cn ( C ↾t ( `' F " A ) ) ) ) )
171	131, 167, 169, 170	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( I e. ( II Cn C ) <-> I e. ( II Cn ( C ↾t ( `' F " A ) ) ) ) )
172	74, 171	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> I e. ( II Cn ( C ↾t ( `' F " A ) ) ) )
173		cvmlift3lem7.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. ( S ` A ) )
174		cvmlift3lem7.s	. . . . . . . 8 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
175	174	cvmsss 31249	. . . . . . 7 |- ( T e. ( S ` A ) -> T C_ C )
176	173, 175	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> T C_ C )
177		cvmlift3lem7.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` X ) e. A )
178	68, 177	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` ( H ` X ) ) e. A )
179		cvmlift3lem7.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( iota_ b e. T ( H ` X ) e. b )
180	174, 21, 179	cvmsiota 31259	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( T e. ( S ` A ) /\ ( H ` X ) e. B /\ ( F ` ( H ` X ) ) e. A ) ) -> ( W e. T /\ ( H ` X ) e. W ) )
181	23, 173, 58, 178, 180	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( W e. T /\ ( H ` X ) e. W ) )
182	181	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. T )
183	176, 182	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> W e. C )
184		elssuni 4467	. . . . . . 7 |- ( W e. T -> W C_ U. T )
185	182, 184	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W C_ U. T )
186	174	cvmsuni 31251	. . . . . . 7 |- ( T e. ( S ` A ) -> U. T = ( `' F " A ) )
187	173, 186	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> U. T = ( `' F " A ) )
188	185, 187	sseqtrd 3641	. . . . 5 |- ( ph -> W C_ ( `' F " A ) )
189	174	cvmsrcl 31246	. . . . . . . 8 |- ( T e. ( S ` A ) -> A e. J )
190	173, 189	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. J )
191		cnima 21069	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( C Cn J ) /\ A e. J ) -> ( `' F " A ) e. C )
192	79, 190, 191	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' F " A ) e. C )
193		restopn2 20981	. . . . . 6 |- ( ( C e. Top /\ ( `' F " A ) e. C ) -> ( W e. ( C ↾t ( `' F " A ) ) <-> ( W e. C /\ W C_ ( `' F " A ) ) ) )
194	129, 192, 193	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( W e. ( C ↾t ( `' F " A ) ) <-> ( W e. C /\ W C_ ( `' F " A ) ) ) )
195	183, 188, 194	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ph -> W e. ( C ↾t ( `' F " A ) ) )
196	174	cvmscld 31255	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ T e. ( S ` A ) /\ W e. T ) -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " A ) ) ) )
197	23, 173, 182, 196	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> W e. ( Clsd ` ( C ↾t ( `' F " A ) ) ) )
198	33	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,] 1 ) )
199	181	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` X ) e. W )
200	76, 199	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` 0 ) e. W )
201	29, 127, 172, 195, 197, 198, 200	conncn 21229	. . 3 |- ( ph -> I : ( 0 [,] 1 ) --> W )
202		1elunit 12291	. . 3 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
203		ffvelrn 6357	. . 3 |- ( ( I : ( 0 [,] 1 ) --> W /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( I ` 1 ) e. W )
204	201, 202, 203	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( I ` 1 ) e. W )
205	125, 204	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( H ` Z ) e. W )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028  Conncconn 21214  𝑛Locally cnlly 21268   Homeochmeo 21556   IIcii 22678   *pcpco 22800  PConncpconn 31201  SConncsconn 31202   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift3lem7  31307