Theorem txsconnlem 31222

Description: Lemma for txsconn 31223. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txsconn.1	|- ( ph -> R e. Top )
txsconn.2	|- ( ph -> S e. Top )
txsconn.3	|- ( ph -> F e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
txsconn.5	|- A = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
txsconn.6	|- B = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
txsconn.7	|- ( ph -> G e. ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
txsconn.8	|- ( ph -> H e. ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )

Assertion

Ref	Expression
txsconnlem	|- ( ph -> F ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )

Proof of Theorem txsconnlem

Dummy variables x s y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txsconn.3	. 2 |- ( ph -> F e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
2		fconstmpt 5163	. . 3 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` 0 ) )
3		iitopon 22682	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
5		txsconn.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Top )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. R = U. R
7	6	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
8	5, 7	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> R e. (TopOn ` U. R ) )
9		txsconn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Top )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. S = U. S
11	10	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( S e. Top <-> S e. (TopOn ` U. S ) )
12	9, 11	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> S e. (TopOn ` U. S ) )
13		txtopon 21394	. . . . 5 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
14	8, 12, 13	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) )
15		cnf2 21053	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( R tX S ) e. (TopOn ` ( U. R X. U. S ) ) /\ F e. ( II Cn ( R tX S ) ) ) -> F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
16	4, 14, 1, 15	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) )
17		0elunit 12290	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
18		ffvelrn 6357	. . . . 5 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) )
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) )
20	4, 14, 19	cnmptc 21465	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( F ` 0 ) ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
21	2, 20	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) )
22		txsconn.5	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
23		tx1cn 21412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
24	8, 12, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) )
25		cnco 21070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn R ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn R ) )
26	1, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn R ) )
27	22, 26	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. ( II Cn R ) )
28		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( A ` 0 ) )
29		iiuni 22684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
30	29, 6	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ( II Cn R ) -> A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R )
32		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A : ( 0 [,] 1 ) --> U. R /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` 0 ) e. U. R )
33	31, 17, 32	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. U. R )
34	4, 8, 33	cnmptc 21465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( A ` 0 ) ) e. ( II Cn R ) )
35	28, 34	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) e. ( II Cn R ) )
36	27, 35	phtpycn 22782	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) C_ ( ( II tX II ) Cn R ) )
37		txsconn.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
38	36, 37	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ( ( II tX II ) Cn R ) )
39		iitop 22683	. . . . . . . . . 10 |- II e. Top
40	39, 39, 29, 29	txunii 21396	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) = U. ( II tX II )
41	40, 6	cnf 21050	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( ( II tX II ) Cn R ) -> G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. R )
42		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( G : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. R -> G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
43	38, 41, 42	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
44		fnov 6768	. . . . . . 7 |- ( G Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) <-> G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G y ) ) )
45	43, 44	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> G = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G y ) ) )
46	45, 38	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x G y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn R ) )
47		txsconn.6	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F )
48		tx2cn 21413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ S e. (TopOn ` U. S ) ) -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
49	8, 12, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) )
50		cnco 21070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) e. ( ( R tX S ) Cn S ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn S ) )
51	1, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) e. ( II Cn S ) )
52	47, 51	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( II Cn S ) )
53		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( B ` 0 ) )
54	29, 10	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ( II Cn S ) -> B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S )
56		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B : ( 0 [,] 1 ) --> U. S /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` 0 ) e. U. S )
57	55, 17, 56	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` 0 ) e. U. S )
58	4, 12, 57	cnmptc 21465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( B ` 0 ) ) e. ( II Cn S ) )
59	53, 58	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) e. ( II Cn S ) )
60	52, 59	phtpycn 22782	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) C_ ( ( II tX II ) Cn S ) )
61		txsconn.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H e. ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )
62	60, 61	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H e. ( ( II tX II ) Cn S ) )
63	40, 10	cnf 21050	. . . . . . . 8 |- ( H e. ( ( II tX II ) Cn S ) -> H : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. S )
64		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( H : ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) --> U. S -> H Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
65	62, 63, 64	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> H Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) )
66		fnov 6768	. . . . . . 7 |- ( H Fn ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) <-> H = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x H y ) ) )
67	65, 66	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> H = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x H y ) ) )
68	67, 62	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x H y ) ) e. ( ( II tX II ) Cn S ) )
69	4, 4, 46, 68	cnmpt2t 21476	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) e. ( ( II tX II ) Cn ( R tX S ) ) )
70	27, 35	phtpyhtpy 22781	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ( PHtpy ` R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) C_ ( A ( II Htpy R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
71	70, 37	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. ( A ( II Htpy R ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ) )
72	4, 27, 35, 71	htpyi 22773	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( s G 0 ) = ( A ` s ) /\ ( s G 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) ) )
73	72	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 0 ) = ( A ` s ) )
74	22	fveq1i 6192	. . . . . . . 8 |- ( A ` s ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s )
75		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
76	16, 75	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
77	74, 76	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` s ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
78		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) )
79	16, 78	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) )
80		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 1st ` ( F ` s ) ) )
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 1st ` ( F ` s ) ) )
82	73, 77, 81	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 0 ) = ( 1st ` ( F ` s ) ) )
83	52, 59	phtpyhtpy 22781	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ( PHtpy ` S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) C_ ( B ( II Htpy S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )
84	83, 61	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H e. ( B ( II Htpy S ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ) )
85	4, 52, 59, 84	htpyi 22773	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( s H 0 ) = ( B ` s ) /\ ( s H 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) ) )
86	85	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 0 ) = ( B ` s ) )
87	47	fveq1i 6192	. . . . . . . 8 |- ( B ` s ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s )
88		fvco3 6275	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
89	16, 88	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` s ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
90	87, 89	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` s ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) )
91		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 2nd ` ( F ` s ) ) )
92	79, 91	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` s ) ) = ( 2nd ` ( F ` s ) ) )
93	86, 90, 92	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 0 ) = ( 2nd ` ( F ` s ) ) )
94	82, 93	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. = <. ( 1st ` ( F ` s ) ) , ( 2nd ` ( F ` s ) ) >. )
95		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
96		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x G y ) = ( s G 0 ) )
97		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x H y ) = ( s H 0 ) )
98	96, 97	opeq12d 4410	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. )
99		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. )
100		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. e. _V
101	98, 99, 100	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 0 ) = <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. )
102	95, 17, 101	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 0 ) = <. ( s G 0 ) , ( s H 0 ) >. )
103		1st2nd2 7205	. . . . . 6 |- ( ( F ` s ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( F ` s ) = <. ( 1st ` ( F ` s ) ) , ( 2nd ` ( F ` s ) ) >. )
104	79, 103	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` s ) = <. ( 1st ` ( F ` s ) ) , ( 2nd ` ( F ` s ) ) >. )
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 0 ) = ( F ` s ) )
106	72	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) )
107		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( A ` 0 ) e. _V
108	107	fvconst2 6469	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) = ( A ` 0 ) )
109	108	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( A ` 0 ) } ) ` s ) = ( A ` 0 ) )
110	22	fveq1i 6192	. . . . . . . . 9 |- ( A ` 0 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 )
111		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
112	16, 17, 111	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
113		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
114	19, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
115	112, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
116	110, 115	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ` 0 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
117	116	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` 0 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
118	106, 109, 117	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s G 1 ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
119	85	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) )
120		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( B ` 0 ) e. _V
121	120	fvconst2 6469	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) = ( B ` 0 ) )
122	121	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( B ` 0 ) } ) ` s ) = ( B ` 0 ) )
123	47	fveq1i 6192	. . . . . . . . 9 |- ( B ` 0 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 )
124		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
125	16, 17, 124	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) )
126		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
127	19, 126	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 0 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
128	125, 127	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 0 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
129	123, 128	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` 0 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
130	129	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` 0 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
131	119, 122, 130	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s H 1 ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
132	118, 131	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
133		1elunit 12291	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
134		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x G y ) = ( s G 1 ) )
135		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x H y ) = ( s H 1 ) )
136	134, 135	opeq12d 4410	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. )
137		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. e. _V
138	136, 99, 137	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 1 ) = <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. )
139	95, 133, 138	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 1 ) = <. ( s G 1 ) , ( s H 1 ) >. )
140		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` 0 ) e. _V
141	140	fvconst2 6469	. . . . . . 7 |- ( s e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) = ( F ` 0 ) )
142	141	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) = ( F ` 0 ) )
143	19	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) )
144		1st2nd2 7205	. . . . . . 7 |- ( ( F ` 0 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( F ` 0 ) = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
145	143, 144	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 0 ) = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
146	142, 145	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
147	132, 139, 146	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) 1 ) = ( ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ` s ) )
148	27, 35, 37	phtpyi 22783	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 G s ) = ( A ` 0 ) /\ ( 1 G s ) = ( A ` 1 ) ) )
149	148	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 G s ) = ( A ` 0 ) )
150	149, 117	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 G s ) = ( 1st ` ( F ` 0 ) ) )
151	52, 59, 61	phtpyi 22783	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 H s ) = ( B ` 0 ) /\ ( 1 H s ) = ( B ` 1 ) ) )
152	151	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H s ) = ( B ` 0 ) )
153	152, 130	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 H s ) = ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) )
154	150, 153	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. = <. ( 1st ` ( F ` 0 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 0 ) ) >. )
155		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( x G y ) = ( 0 G s ) )
156		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( x H y ) = ( 0 H s ) )
157	155, 156	opeq12d 4410	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. )
158		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. e. _V
159	157, 99, 158	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. )
160	17, 95, 159	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 0 G s ) , ( 0 H s ) >. )
161	154, 160, 145	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = ( F ` 0 ) )
162	148	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 G s ) = ( A ` 1 ) )
163	22	fveq1i 6192	. . . . . . . . . 10 |- ( A ` 1 ) = ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 )
164		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
165	16, 133, 164	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
166	163, 165	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A ` 1 ) = ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
167		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) )
168	16, 133, 167	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) )
169		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
170	168, 169	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1st |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
171	166, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A ` 1 ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
172	171	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( A ` 1 ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
173	162, 172	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 G s ) = ( 1st ` ( F ` 1 ) ) )
174	151	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H s ) = ( B ` 1 ) )
175	47	fveq1i 6192	. . . . . . . . . 10 |- ( B ` 1 ) = ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 )
176		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> ( U. R X. U. S ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
177	16, 133, 176	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) o. F ) ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
178	175, 177	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` 1 ) = ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) )
179		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
180	168, 179	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2nd |` ( U. R X. U. S ) ) ` ( F ` 1 ) ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
181	178, 180	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` 1 ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
182	181	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( B ` 1 ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
183	174, 182	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 H s ) = ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) )
184	173, 183	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. = <. ( 1st ` ( F ` 1 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) >. )
185		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x G y ) = ( 1 G s ) )
186		oveq12 6659	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x H y ) = ( 1 H s ) )
187	185, 186	opeq12d 4410	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. = <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. )
188		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. e. _V
189	187, 99, 188	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. )
190	133, 95, 189	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = <. ( 1 G s ) , ( 1 H s ) >. )
191	168	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) )
192		1st2nd2 7205	. . . . . 6 |- ( ( F ` 1 ) e. ( U. R X. U. S ) -> ( F ` 1 ) = <. ( 1st ` ( F ` 1 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) >. )
193	191, 192	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` 1 ) = <. ( 1st ` ( F ` 1 ) ) , ( 2nd ` ( F ` 1 ) ) >. )
194	184, 190, 193	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) s ) = ( F ` 1 ) )
195	1, 21, 69, 105, 147, 161, 194	isphtpy2d 22786	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) e. ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) )
196		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> <. ( x G y ) , ( x H y ) >. ) e. ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) -> ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
197	195, 196	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) =/= (/) )
198		isphtpc 22793	. 2 |- ( F ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) <-> ( F e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) e. ( II Cn ( R tX S ) ) /\ ( F ( PHtpy ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) ) =/= (/) ) )
199	1, 21, 197, 198	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> F ( ~=ph ` ( R tX S ) ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( F ` 0 ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   IIcii 22678   Htpy chtpy 22766   PHtpycphtpy 22767   ~=ph cphtpc 22768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791

This theorem is referenced by:  txsconn  31223