Theorem pi1coghm 22861

Description: The mapping G between fundamental groups is a group homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1co.p	|- P = ( J pi1 A )
pi1co.q	|- Q = ( K pi1 B )
pi1co.v	|- V = ( Base ` P )
pi1co.g	|- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
pi1co.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1co.f	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
pi1co.a	|- ( ph -> A e. X )
pi1co.b	|- ( ph -> ( F ` A ) = B )

Assertion

Ref	Expression
pi1coghm	|- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Distinct variable groups:   A, g   g, F   g, J   ph, g   g, K   P, g   Q, g   g, V

Allowed substitution hints:   B( g)   G( g)   X( g)

Proof of Theorem pi1coghm

Dummy variables h f z y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1co.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		pi1co.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. X )
3		pi1co.p	. . . . 5 |- P = ( J pi1 A )
4	3	pi1grp 22850	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. X ) -> P e. Grp )
5	1, 2, 4	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> P e. Grp )
6		pi1co.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 21045	. . . . . 6 |- ( F e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K e. Top )
9		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. K = U. K
10	9	toptopon 20722	. . . . 5 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
11	8, 10	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
12		pi1co.b	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) = B )
13		cnf2 21053	. . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F : X --> U. K )
14	1, 11, 6, 13	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> U. K )
15	14, 2	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` A ) e. U. K )
16	12, 15	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> B e. U. K )
17		pi1co.q	. . . . 5 |- Q = ( K pi1 B )
18	17	pi1grp 22850	. . . 4 |- ( ( K e. (TopOn ` U. K ) /\ B e. U. K ) -> Q e. Grp )
19	11, 16, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> Q e. Grp )
20	5, 19	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) )
21		pi1co.v	. . . 4 |- V = ( Base ` P )
22		pi1co.g	. . . 4 |- G = ran ( g e. U. V |-> <. [ g ] ( ~=ph ` J ) , [ ( F o. g ) ] ( ~=ph ` K ) >. )
23	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1cof 22859	. . 3 |- ( ph -> G : V --> ( Base ` Q ) )
24	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V = ( Base ` P ) )
25	3, 1, 2, 24	pi1bas2 22841	. . . . . . 7 |- ( ph -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
26	25	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. V <-> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) )
27	26	biimpa 501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) = ( y ( +g ` P ) z ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) )
31		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` y ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
33	30, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( [ f ] ( ~=ph ` J ) = y -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
35		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = ( G ` z ) )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( [ h ] ( ~=ph ` J ) = z -> ( ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) <-> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
40	3, 1, 2, 24	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( f e. U. V <-> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) ) )
41	40	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f e. ( II Cn J ) /\ ( f ` 0 ) = A /\ ( f ` 1 ) = A ) )
42	41	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. ( II Cn J ) )
44	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
45	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A e. X )
46	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
47	3, 44, 45, 46	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( h e. U. V <-> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) ) )
48	47	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h e. ( II Cn J ) /\ ( h ` 0 ) = A /\ ( h ` 1 ) = A ) )
49	48	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. ( II Cn J ) )
50	41	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = A )
52	48	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 0 ) = A )
53	51, 52	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 1 ) = ( h ` 0 ) )
54	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
55	43, 49, 53, 54	copco 22818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) = ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) )
56	55	eceq1d 7783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
57	43, 49, 53	pcocn 22817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) )
58	43, 49	pco0 22814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
59	41	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ` 0 ) = A )
61	58, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A )
62	43, 49	pco1 22815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
63	48	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( h ` 1 ) = A )
64	62, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A )
65	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> J e. (TopOn ` X ) )
66	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> A e. X )
67	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> V = ( Base ` P ) )
68	3, 65, 66, 67	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V <-> ( ( f ( *p ` J ) h ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 0 ) = A /\ ( ( f ( *p ` J ) h ) ` 1 ) = A ) ) )
69	57, 61, 64, 68	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V )
70	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 22860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
71	70	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ ( f ( *p ` J ) h ) e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
72	69, 71	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. ( f ( *p ` J ) h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` Q ) = ( Base ` Q )
74	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
75	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> B e. U. K )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` Q ) = ( +g ` Q )
77	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> F e. ( J Cn K ) )
78		cnco 21070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
79	42, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. ( II Cn K ) )
80		iitopon 22682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
82		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ f e. ( II Cn J ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
83	81, 44, 42, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> X )
84		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
85		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
86	83, 84, 85	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = ( F ` ( f ` 0 ) ) )
87	59	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
88	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
89	86, 87, 88	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 0 ) = B )
90		1elunit 12291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
91		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
92	83, 90, 91	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = ( F ` ( f ` 1 ) ) )
93	50	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F ` ( f ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
94	92, 93, 88	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) ` 1 ) = B )
95	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
96	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> B e. U. K )
97		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
98	17, 95, 96, 97	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. f ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. f ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. f ) ` 1 ) = B ) ) )
99	79, 89, 94, 98	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. f ) e. U. ( Base ` Q ) )
101		cnco 21070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h e. ( II Cn J ) /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
102	49, 54, 101	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. ( II Cn K ) )
103	80	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
104		cnf2 21053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ J e. (TopOn ` X ) /\ h e. ( II Cn J ) ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
105	103, 65, 49, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h : ( 0 [,] 1 ) --> X )
106		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
107	105, 84, 106	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = ( F ` ( h ` 0 ) ) )
108	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 0 ) ) = ( F ` A ) )
109	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` A ) = B )
110	107, 108, 109	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 0 ) = B )
111		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h : ( 0 [,] 1 ) --> X /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
112	105, 90, 111	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = ( F ` ( h ` 1 ) ) )
113	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F ` ( h ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
114	112, 113, 109	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) ` 1 ) = B )
115		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Base ` Q ) = ( Base ` Q ) )
116	17, 11, 16, 115	pi1eluni 22842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
117	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) <-> ( ( F o. h ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( F o. h ) ` 0 ) = B /\ ( ( F o. h ) ` 1 ) = B ) ) )
118	102, 110, 114, 117	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( F o. h ) e. U. ( Base ` Q ) )
119	17, 73, 74, 75, 76, 100, 118	pi1addval 22848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) = [ ( ( F o. f ) ( *p ` K ) ( F o. h ) ) ] ( ~=ph ` K ) )
120	56, 72, 119	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
121		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
122		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> f e. U. V )
123		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> h e. U. V )
124	3, 21, 65, 66, 121, 122, 123	pi1addval 22848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) )
125	124	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( G ` [ ( f ( *p ` J ) h ) ] ( ~=ph ` J ) ) )
126	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 22860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) )
128	3, 17, 21, 22, 1, 6, 2, 12	pi1coval 22860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
129	128	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) = [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) )
130	127, 129	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( [ ( F o. f ) ] ( ~=ph ` K ) ( +g ` Q ) [ ( F o. h ) ] ( ~=ph ` K ) ) )
131	120, 125, 130	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ h e. U. V ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` [ h ] ( ~=ph ` J ) ) ) )
132	28, 39, 131	ectocld 7814	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. U. V ) /\ z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
133	132	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
134	25	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> V = ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) )
135	134	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> ( A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) <-> A. z e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
136	133, 135	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. U. V ) -> A. z e. V ( G ` ( [ f ] ( ~=ph ` J ) ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` [ f ] ( ~=ph ` J ) ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
137	28, 34, 136	ectocld 7814	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( U. V /. ( ~=ph ` J ) ) ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
138	27, 137	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. V ) -> A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
139	138	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) )
140	23, 139	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) )
141	21, 73, 121, 76	isghm 17660	. 2 |- ( G e. ( P GrpHom Q ) <-> ( ( P e. Grp /\ Q e. Grp ) /\ ( G : V --> ( Base ` Q ) /\ A. y e. V A. z e. V ( G ` ( y ( +g ` P ) z ) ) = ( ( G ` y ) ( +g ` Q ) ( G ` z ) ) ) ) )
142	20, 140, 141	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> G e. ( P GrpHom Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   [cec 7740   /.cqs 7741   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800   pi1 cpi1 22803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-om1 22806  df-pi1 22808

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