Theorem cvmlift3lem5 31305

Description: Lemma for cvmlift2 31298. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	|- B = U. C
cvmlift3.y	|- Y = U. K
cvmlift3.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmlift3.k	|- ( ph -> K e. SConn )
cvmlift3.l	|- ( ph -> K e. 𝑛Locally PConn )
cvmlift3.o	|- ( ph -> O e. Y )
cvmlift3.g	|- ( ph -> G e. ( K Cn J ) )
cvmlift3.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmlift3.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
cvmlift3.h	|- H = ( x e. Y |-> ( iota_ z e. B E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = x /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem5	|- ( ph -> ( F o. H ) = G )

Distinct variable groups:   z, f, g, x   f, J   x, g, J   f, F, g   x, z, F   f, H, g, x, z   B, f, g, x, z   f, G, g, x, z   C, f, g, x, z   ph, f, x   f, K, g, x, z   P, f, g, x, z   f, O, g, x, z   f, Y, g, x, z

Allowed substitution hints:   ph( z, g)   J( z)

Proof of Theorem cvmlift3lem5

Dummy variables w y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( H ` y ) = ( H ` y )
2		cvmlift3.b	. . . . . 6 |- B = U. C
3		cvmlift3.y	. . . . . 6 |- Y = U. K
4		cvmlift3.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
5		cvmlift3.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. SConn )
6		cvmlift3.l	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. 𝑛Locally PConn )
7		cvmlift3.o	. . . . . 6 |- ( ph -> O e. Y )
8		cvmlift3.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. ( K Cn J ) )
9		cvmlift3.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. B )
10		cvmlift3.e	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
11		cvmlift3.h	. . . . . 6 |- H = ( x e. Y |-> ( iota_ z e. B E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = x /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = z ) ) )
12	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem4 31304	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( ( H ` y ) = ( H ` y ) <-> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) ) ) )
13	1, 12	mpbii 223	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) ) )
14		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) ) <-> ( ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) ) )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) )
16	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> f e. ( II Cn K ) )
18	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> G e. ( K Cn J ) )
19		cnco 21070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( II Cn K ) /\ G e. ( K Cn J ) ) -> ( G o. f ) e. ( II Cn J ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( G o. f ) e. ( II Cn J ) )
21	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> P e. B )
22		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( f ` 0 ) = O )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( G ` ( f ` 0 ) ) = ( G ` O ) )
24		iiuni 22684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
25	24, 3	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( II Cn K ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> f : ( 0 [,] 1 ) --> Y )
27		0elunit 12290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
28		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( G o. f ) ` 0 ) = ( G ` ( f ` 0 ) ) )
29	26, 27, 28	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( ( G o. f ) ` 0 ) = ( G ` ( f ` 0 ) ) )
30	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
31	23, 29, 30	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( F ` P ) = ( ( G o. f ) ` 0 ) )
32	2, 15, 16, 20, 21, 31	cvmliftiota 31283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) e. ( II Cn C ) /\ ( F o. ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ) = ( G o. f ) /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 0 ) = P ) )
33	32	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( F o. ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ) = ( G o. f ) )
34	33	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( ( F o. ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ) ` 1 ) = ( ( G o. f ) ` 1 ) )
35	32	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) e. ( II Cn C ) )
36	24, 2	cnf 21050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) e. ( II Cn C ) -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B )
38		1elunit 12291	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
39		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> B /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F o. ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) ) )
40	37, 38, 39	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( ( F o. ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ) ` 1 ) = ( F ` ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) ) )
41		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> Y /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( G o. f ) ` 1 ) = ( G ` ( f ` 1 ) ) )
42	26, 38, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( ( G o. f ) ` 1 ) = ( G ` ( f ` 1 ) ) )
43		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( f ` 1 ) = y )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( G ` ( f ` 1 ) ) = ( G ` y ) )
45	42, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( ( G o. f ) ` 1 ) = ( G ` y ) )
46	34, 40, 45	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( F ` ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) ) = ( G ` y ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) -> ( F ` ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) ) = ( F ` ( H ` y ) ) )
48	47	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) -> ( ( F ` ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) ) = ( G ` y ) <-> ( F ` ( H ` y ) ) = ( G ` y ) ) )
49	46, 48	syl5ibcom 235	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) /\ ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) ) -> ( ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) -> ( F ` ( H ` y ) ) = ( G ` y ) ) )
50	49	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) -> ( ( ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y ) /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) ) -> ( F ` ( H ` y ) ) = ( G ` y ) ) )
51	14, 50	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Y ) /\ f e. ( II Cn K ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) ) -> ( F ` ( H ` y ) ) = ( G ` y ) ) )
52	51	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = y /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` y ) ) -> ( F ` ( H ` y ) ) = ( G ` y ) ) )
53	13, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( F ` ( H ` y ) ) = ( G ` y ) )
54	53	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( y e. Y |-> ( F ` ( H ` y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( G ` y ) ) )
55	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem3 31303	. . . 4 |- ( ph -> H : Y --> B )
56	55	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. Y ) -> ( H ` y ) e. B )
57	55	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> H = ( y e. Y |-> ( H ` y ) ) )
58		cvmcn 31244	. . . . 5 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
59		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. J = U. J
60	2, 59	cnf 21050	. . . . 5 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> U. J )
61	4, 58, 60	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> F : B --> U. J )
62	61	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ph -> F = ( w e. B |-> ( F ` w ) ) )
63		fveq2 6191	. . 3 |- ( w = ( H ` y ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( H ` y ) ) )
64	56, 57, 62, 63	fmptco 6396	. 2 |- ( ph -> ( F o. H ) = ( y e. Y |-> ( F ` ( H ` y ) ) ) )
65	3, 59	cnf 21050	. . . 4 |- ( G e. ( K Cn J ) -> G : Y --> U. J )
66	8, 65	syl 17	. . 3 |- ( ph -> G : Y --> U. J )
67	66	feqmptd 6249	. 2 |- ( ph -> G = ( y e. Y |-> ( G ` y ) ) )
68	54, 64, 67	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( F o. H ) = G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   [,]cicc 12178   Cn ccn 21028  𝑛Locally cnlly 21268   IIcii 22678  PConncpconn 31201  SConncsconn 31202   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift3lem6  31306  cvmlift3lem7  31307  cvmlift3lem9  31309