Theorem phtpcco2 22799

Description: Compose a path homotopy with a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phtpcco2.f	|- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) G )
phtpcco2.p	|- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
phtpcco2	|- ( ph -> ( P o. F ) ( ~=ph ` K ) ( P o. G ) )

Proof of Theorem phtpcco2

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcco2.f	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) G )
2		isphtpc 22793	. . . . 5 |- ( F ( ~=ph ` J ) G <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ G e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) G ) =/= (/) ) )
3	1, 2	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( II Cn J ) /\ G e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) G ) =/= (/) ) )
4	3	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		phtpcco2.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( J Cn K ) )
6		cnco 21070	. . 3 |- ( ( F e. ( II Cn J ) /\ P e. ( J Cn K ) ) -> ( P o. F ) e. ( II Cn K ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( P o. F ) e. ( II Cn K ) )
8	3	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
9		cnco 21070	. . 3 |- ( ( G e. ( II Cn J ) /\ P e. ( J Cn K ) ) -> ( P o. G ) e. ( II Cn K ) )
10	8, 5, 9	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( P o. G ) e. ( II Cn K ) )
11	3	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) G ) =/= (/) )
12		n0 3931	. . . 4 |- ( ( F ( PHtpy ` J ) G ) =/= (/) <-> E. f f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) )
13	11, 12	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> E. f f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) )
14	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) ) -> F e. ( II Cn J ) )
15	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) ) -> G e. ( II Cn J ) )
16	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) ) -> P e. ( J Cn K ) )
17		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) ) -> f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) )
18	14, 15, 16, 17	phtpyco2 22789	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) ) -> ( P o. f ) e. ( ( P o. F ) ( PHtpy ` K ) ( P o. G ) ) )
19		ne0i 3921	. . . 4 |- ( ( P o. f ) e. ( ( P o. F ) ( PHtpy ` K ) ( P o. G ) ) -> ( ( P o. F ) ( PHtpy ` K ) ( P o. G ) ) =/= (/) )
20	18, 19	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. ( F ( PHtpy ` J ) G ) ) -> ( ( P o. F ) ( PHtpy ` K ) ( P o. G ) ) =/= (/) )
21	13, 20	exlimddv 1863	. 2 |- ( ph -> ( ( P o. F ) ( PHtpy ` K ) ( P o. G ) ) =/= (/) )
22		isphtpc 22793	. 2 |- ( ( P o. F ) ( ~=ph ` K ) ( P o. G ) <-> ( ( P o. F ) e. ( II Cn K ) /\ ( P o. G ) e. ( II Cn K ) /\ ( ( P o. F ) ( PHtpy ` K ) ( P o. G ) ) =/= (/) ) )
23	7, 10, 21, 22	syl3anbrc 1246	1 |- ( ph -> ( P o. F ) ( ~=ph ` K ) ( P o. G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Cn ccn 21028   IIcii 22678   PHtpycphtpy 22767   ~=ph cphtpc 22768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791

This theorem is referenced by:  pi1cof  22859  cvmlift3lem1  31301