Theorem cnfcom3lem 8600

Description: Lemma for cnfcom3 8601. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom.a	|- ( ph -> A e. On )
cnfcom.b	|- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
cnfcom.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
cnfcom.g	|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
cnfcom.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom3.1	|- ( ph -> om C_ B )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom3lem	|- ( ph -> W e. ( On \ 1o ) )

Distinct variable groups:   x, k, z, A   x, M   f, k, x, z, F   z, T   x, W   f, G, k, x, z   f, H, x   S, k, z   ph, k, x, z

Allowed substitution hints:   ph( f)   A( f)   B( x, z, f, k)   S( x, f)   T( x, f, k)   H( z, k)   K( x, z, f, k)   M( z, f, k)   W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom.w	. . 3 |- W = ( G ` U. dom G )
2		cnfcom.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. On )
3		suppssdm 7308	. . . . . 6 |- ( F supp (/) ) C_ dom F
4		cnfcom.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` B )
5		cnfcom.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = dom ( om CNF A )
6		omelon 8543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- om e. On
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> om e. On )
8	5, 7, 2	cantnff1o 8593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) )
9		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S )
10		f1of 6137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) -1-1-onto-> S -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' ( om CNF A ) : ( om ^o A ) --> S )
12		cnfcom.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ( om ^o A ) )
13	11, 12	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' ( om CNF A ) ` B ) e. S )
14	4, 13	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. S )
15	5, 7, 2	cantnfs 8563	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F e. S <-> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) ) )
16	14, 15	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F : A --> om /\ F finSupp (/) ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : A --> om )
18		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( F : A --> om -> dom F = A )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = A )
20	3, 19	syl5sseq 3653	. . . . 5 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ A )
21		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( F supp (/) ) e. _V
22		cnfcom.g	. . . . . . . . . . . 12 |- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) )
23	22	oion 8441	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F supp (/) ) e. _V -> dom G e. On )
24	21, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- dom G e. On
25	24	elexi 3213	. . . . . . . . 9 |- dom G e. _V
26	25	uniex 6953	. . . . . . . 8 |- U. dom G e. _V
27	26	sucid 5804	. . . . . . 7 |- U. dom G e. suc U. dom G
28		cnfcom.h	. . . . . . . 8 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
29		cnfcom.t	. . . . . . . 8 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
30		cnfcom.m	. . . . . . . 8 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
31		cnfcom.k	. . . . . . . 8 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
32		cnfcom3.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> om C_ B )
33		peano1 7085	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. om )
35	32, 34	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. B )
36	5, 2, 12, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 1, 35	cnfcom2lem 8598	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom G = suc U. dom G )
37	27, 36	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( ph -> U. dom G e. dom G )
38	22	oif 8435	. . . . . . 7 |- G : dom G --> ( F supp (/) )
39	38	ffvelrni 6358	. . . . . 6 |- ( U. dom G e. dom G -> ( G ` U. dom G ) e. ( F supp (/) ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` U. dom G ) e. ( F supp (/) ) )
41	20, 40	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` U. dom G ) e. A )
42		onelon 5748	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ ( G ` U. dom G ) e. A ) -> ( G ` U. dom G ) e. On )
43	2, 41, 42	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( G ` U. dom G ) e. On )
44	1, 43	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> W e. On )
45		oecl 7617	. . . . . . 7 |- ( ( om e. On /\ A e. On ) -> ( om ^o A ) e. On )
46	6, 2, 45	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( om ^o A ) e. On )
47		onelon 5748	. . . . . 6 |- ( ( ( om ^o A ) e. On /\ B e. ( om ^o A ) ) -> B e. On )
48	46, 12, 47	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> B e. On )
49		ontri1 5757	. . . . 5 |- ( ( om e. On /\ B e. On ) -> ( om C_ B <-> -. B e. om ) )
50	6, 48, 49	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( om C_ B <-> -. B e. om ) )
51	32, 50	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> -. B e. om )
52	4	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( ( om CNF A ) ` F ) = ( ( om CNF A ) ` ( `' ( om CNF A ) ` B ) )
53		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( om CNF A ) : S -1-1-onto-> ( om ^o A ) /\ B e. ( om ^o A ) ) -> ( ( om CNF A ) ` ( `' ( om CNF A ) ` B ) ) = B )
54	8, 12, 53	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( om CNF A ) ` ( `' ( om CNF A ) ` B ) ) = B )
55	52, 54	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( om CNF A ) ` F ) = B )
56	55	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( ( om CNF A ) ` F ) = B )
57	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> om e. On )
58	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> A e. On )
59	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> F e. S )
60	33	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> (/) e. om )
61		1on 7567	. . . . . . . . 9 |- 1o e. On
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> 1o e. On )
63		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( F supp (/) ) e. _V )
64	5, 7, 2, 22, 14	cantnfcl 8564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. om ) )
65	64	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> _E We ( F supp (/) ) )
66	22	oiiso 8442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F supp (/) ) e. _V /\ _E We ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
67	63, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
68	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) )
69		isof1o 6573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) -> G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) )
71		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) -> `' G : ( F supp (/) ) -1-1-onto-> dom G )
72		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( `' G : ( F supp (/) ) -1-1-onto-> dom G -> `' G : ( F supp (/) ) --> dom G )
73	70, 71, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> `' G : ( F supp (/) ) --> dom G )
74		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' G : ( F supp (/) ) --> dom G /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( `' G ` x ) e. dom G )
75	73, 74	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( `' G ` x ) e. dom G )
76		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' G ` x ) e. dom G -> ( `' G ` x ) C_ U. dom G )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( `' G ` x ) C_ U. dom G )
78		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom G e. On /\ ( `' G ` x ) e. dom G ) -> ( `' G ` x ) e. On )
79	24, 75, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( `' G ` x ) e. On )
80		onuni 6993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dom G e. On -> U. dom G e. On )
81	24, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. dom G e. On
82		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' G ` x ) e. On /\ U. dom G e. On ) -> ( ( `' G ` x ) C_ U. dom G <-> -. U. dom G e. ( `' G ` x ) ) )
83	79, 81, 82	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( ( `' G ` x ) C_ U. dom G <-> -. U. dom G e. ( `' G ` x ) ) )
84	77, 83	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> -. U. dom G e. ( `' G ` x ) )
85	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> U. dom G e. dom G )
86		isorel 6576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G Isom _E , _E ( dom G , ( F supp (/) ) ) /\ ( U. dom G e. dom G /\ ( `' G ` x ) e. dom G ) ) -> ( U. dom G _E ( `' G ` x ) <-> ( G ` U. dom G ) _E ( G ` ( `' G ` x ) ) ) )
87	68, 85, 75, 86	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( U. dom G _E ( `' G ` x ) <-> ( G ` U. dom G ) _E ( G ` ( `' G ` x ) ) ) )
88		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' G ` x ) e. _V
89	88	epelc 5031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. dom G _E ( `' G ` x ) <-> U. dom G e. ( `' G ` x ) )
90	1	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W _E ( G ` ( `' G ` x ) ) <-> ( G ` U. dom G ) _E ( G ` ( `' G ` x ) ) )
91		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( G ` ( `' G ` x ) ) e. _V
92	91	epelc 5031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W _E ( G ` ( `' G ` x ) ) <-> W e. ( G ` ( `' G ` x ) ) )
93	90, 92	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G ` U. dom G ) _E ( G ` ( `' G ` x ) ) <-> W e. ( G ` ( `' G ` x ) ) )
94	87, 89, 93	3bitr3g 302	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( U. dom G e. ( `' G ` x ) <-> W e. ( G ` ( `' G ` x ) ) ) )
95		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> W = (/) )
96		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : dom G -1-1-onto-> ( F supp (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` ( `' G ` x ) ) = x )
97	70, 96	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( G ` ( `' G ` x ) ) = x )
98	95, 97	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( W e. ( G ` ( `' G ` x ) ) <-> (/) e. x ) )
99	94, 98	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( U. dom G e. ( `' G ` x ) <-> (/) e. x ) )
100	84, 99	mtbid 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> -. (/) e. x )
101		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. On -> A C_ On )
102	2, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A C_ On )
103	20, 102	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F supp (/) ) C_ On )
104	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( F supp (/) ) C_ On )
105	104	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> x e. On )
106		on0eqel 5845	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. On -> ( x = (/) \/ (/) e. x ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( x = (/) \/ (/) e. x ) )
108	107	ord 392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> ( -. x = (/) -> (/) e. x ) )
109	100, 108	mt3d 140	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> x = (/) )
110		el1o 7579	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. 1o <-> x = (/) )
111	109, 110	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ W = (/) ) /\ x e. ( F supp (/) ) ) -> x e. 1o )
112	111	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( x e. ( F supp (/) ) -> x e. 1o ) )
113	112	ssrdv 3609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( F supp (/) ) C_ 1o )
114	5, 57, 58, 59, 60, 62, 113	cantnflt2 8570	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( ( om CNF A ) ` F ) e. ( om ^o 1o ) )
115		oe1 7624	. . . . . . . 8 |- ( om e. On -> ( om ^o 1o ) = om )
116	6, 115	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( om ^o 1o ) = om
117	114, 116	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> ( ( om CNF A ) ` F ) e. om )
118	56, 117	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ( ph /\ W = (/) ) -> B e. om )
119	118	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( W = (/) -> B e. om ) )
120	119	necon3bd 2808	. . 3 |- ( ph -> ( -. B e. om -> W =/= (/) ) )
121	51, 120	mpd 15	. 2 |- ( ph -> W =/= (/) )
122		dif1o 7580	. 2 |- ( W e. ( On \ 1o ) <-> ( W e. On /\ W =/= (/) ) )
123	44, 121, 122	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> W e. ( On \ 1o ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _E cep 5028   We wwe 5072   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   omcom 7065   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   1oc1o 7553   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cnfcom3  8601  cnfcom3clem  8602