Theorem cnrefiisp 40056

Description: A non-real, complex number is an isolated point w.r.t. the union of the reals with any finite set (the extended reals is an example of such a union). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrefiisp.a	|- ( ph -> A e. CC )
cnrefiisp.n	|- ( ph -> -. A e. RR )
cnrefiisp.b	|- ( ph -> B e. Fin )
cnrefiisp.c	|- C = ( RR u. B )

Assertion

Ref	Expression
cnrefiisp	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B   x, C, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)

Proof of Theorem cnrefiisp

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrefiisp.a	. . 3 |- ( ph -> A e. CC )
2		cnrefiisp.n	. . 3 |- ( ph -> -. A e. RR )
3		cnrefiisp.b	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
4		cnrefiisp.c	. . 3 |- C = ( RR u. B )
5		eqid 2622	. . 3 |- ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) } ) = ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) } )
6		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z - A ) = ( w - A ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( abs ` ( z - A ) ) = ( abs ` ( w - A ) ) )
8	7	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( z = w -> { ( abs ` ( z - A ) ) } = { ( abs ` ( w - A ) ) } )
9	8	cbviunv 4559	. . . . 5 |- U_ z e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( z - A ) ) } = U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) }
10	9	uneq2i 3764	. . . 4 |- ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ z e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( z - A ) ) } ) = ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) } )
11	10	infeq1i 8384	. . 3 |- inf ( ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ z e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( z - A ) ) } ) , RR* , < ) = inf ( ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) } ) , RR* , < )
12	1, 2, 3, 4, 5, 11	cnrefiisplem 40055	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. w e. C ( ( w e. CC /\ w =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( w - A ) ) ) )
13		eleq1w 2684	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w e. CC <-> y e. CC ) )
14		neeq1 2856	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w =/= A <-> y =/= A ) )
15	13, 14	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w e. CC /\ w =/= A ) <-> ( y e. CC /\ y =/= A ) ) )
16		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( w - A ) = ( y - A ) )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( abs ` ( w - A ) ) = ( abs ` ( y - A ) ) )
18	17	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( w = y -> ( x <_ ( abs ` ( w - A ) ) <-> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
19	15, 18	imbi12d 334	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ( w e. CC /\ w =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( w - A ) ) ) <-> ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) )
20	19	cbvralv 3171	. . 3 |- ( A. w e. C ( ( w e. CC /\ w =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( w - A ) ) ) <-> A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
21	20	rexbii 3041	. 2 |- ( E. x e. RR+ A. w e. C ( ( w e. CC /\ w =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( w - A ) ) ) <-> E. x e. RR+ A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
22	12, 21	sylib 208	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   Imcim 13838   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40071