Theorem coe1fzgsumdlem 19671

Description: Lemma for coe1fzgsumd 19672 (induction step). (Contributed by AV, 8-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fzgsumd.p	|- P = (Poly1 ` R )
coe1fzgsumd.b	|- B = ( Base ` P )
coe1fzgsumd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
coe1fzgsumd.k	|- ( ph -> K e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
coe1fzgsumdlem	|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, K   x, m   x, a

Allowed substitution hints:   ph( x, m, a)   B( m, a)   P( x, m, a)   R( x, m, a)   K( m, a)   M( x, m, a)

Proof of Theorem coe1fzgsumdlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralunb 3794	. . 3 |- ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B <-> ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) )
2		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ y M
3		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ M
4		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> M = [_ y / x ]_ M )
5	2, 3, 4	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M )
6	5	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) )
7		coe1fzgsumd.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- B = ( Base ` P )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( +g ` P ) = ( +g ` P )
9		coe1fzgsumd.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> R e. Ring )
10		coe1fzgsumd.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = (Poly1 ` R )
11	10	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. Ring )
13		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. Ring -> P e. CMnd )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> P e. CMnd )
15	14	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> P e. CMnd )
16	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> P e. CMnd )
17		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> m e. Fin )
18		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. m /\ A. x e. m M e. B ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
19	18	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. x e. m M e. B -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( y e. m -> [_ y / x ]_ M e. B ) )
22	21	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ M e. B )
23		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- a e. _V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> a e. _V )
25		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> -. a e. m )
26		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- a e. { a }
27		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. { a } /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
28	26, 27	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. { a } M e. B -> [_ a / x ]_ M e. B )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> [_ a / x ]_ M e. B )
30		csbeq1 3536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ M = [_ a / x ]_ M )
31	7, 8, 16, 17, 22, 24, 25, 29, 30	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
32	6, 31	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
33	2, 3, 4	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. m |-> M ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M )
34	33	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) = ( x e. m |-> M )
35	34	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) = ( P gsumg ( x e. m |-> M ) )
36	35	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M )
37	32, 36	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) = ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) = (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) )
39	38	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) )
40	9	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. Ring )
41	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. Ring )
42		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> A. x e. m M e. B )
43	7, 16, 17, 42	gsummptcl 18366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B )
44		coe1fzgsumd.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> K e. NN0 )
45	44	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> K e. NN0 )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> K e. NN0 )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
48	10, 7, 8, 47	coe1addfv 19635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) e. B /\ [_ a / x ]_ M e. B ) /\ K e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
49	41, 43, 29, 46, 48	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ( +g ` P ) [_ a / x ]_ M ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
50	39, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
51		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
52	50, 51	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
53		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y ( (coe1 ` M ) ` K )
54		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K )
55		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
56	53, 54, 55	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
57	56	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
59		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
60	9, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> R e. CMnd )
61	60	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> R e. CMnd )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> R e. CMnd )
63		csbfv12 6231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K )
64		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
65		csbfv2g 6232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
67		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. _V -> [_ y / x ]_ K = K )
68	64, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ y / x ]_ K = K
69	66, 68	fveq12i 6196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ y / x ]_ (coe1 ` M ) ` [_ y / x ]_ K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
70	63, 69	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K )
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ y / x ]_ M )
72	71, 7, 10, 58	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [_ y / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
73	22, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
74	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> K e. NN0 )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> K e. NN0 )
76	73, 75	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> ( (coe1 ` [_ y / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
77	70, 76	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ y e. m ) -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
79	78, 7, 10, 58	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ a / x ]_ M e. B -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
80	29, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
81	80, 46	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) e. ( Base ` R ) )
82		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x a
83		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ xcoe1
84		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x [_ a / x ]_ M
85	83, 84	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x (coe1 ` [_ a / x ]_ M )
86		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x K
87	85, 86	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K )
88		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> M = [_ a / x ]_ M )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> (coe1 ` M ) = (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) )
90	89	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
91	82, 87, 90	csbhypf 3552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = a -> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) = ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
92	58, 47, 62, 17, 77, 24, 25, 81, 91	gsumunsn 18359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( y e. ( m u. { a } ) |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
93	57, 92	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) )
94	53, 54, 55	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) )
95	94	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) )
96	95	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) )
97	96	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R gsumg ( y e. m |-> [_ y / x ]_ ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) )
98	93, 97	syl6req 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ( +g ` R ) ( (coe1 ` [_ a / x ]_ M ) ` K ) ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
100	52, 99	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) /\ A. x e. { a } M e. B ) /\ ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) )
101	100	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
102	101	com23 86	. . . . . 6 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ A. x e. m M e. B ) -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )
103	102	ex 450	. . . . 5 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
104	103	a2d 29	. . . 4 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. m M e. B -> ( A. x e. { a } M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) )
105	104	imp4b 613	. . 3 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( ( A. x e. m M e. B /\ A. x e. { a } M e. B ) -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
106	1, 105	syl5bi 232	. 2 |- ( ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) /\ ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) )
107	106	ex 450	1 |- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. m |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( (coe1 ` ( P gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsumg ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( (coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553

This theorem is referenced by:  coe1fzgsumd  19672