Theorem ply1ring 19618

Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1ring.p	|- P = (Poly1 ` R )

Assertion

Ref	Expression
ply1ring	|- ( R e. Ring -> P e. Ring )

Proof of Theorem ply1ring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ring.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
2		eqid 2622	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
4	1, 2, 3	ply1bas 19565	. . 3 |- ( Base ` P ) = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
5	1, 2, 3	ply1subrg 19567	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Base ` P ) e. (SubRing ` (PwSer1 ` R ) ) )
6	4, 5	syl5eqelr 2706	. 2 |- ( R e. Ring -> ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) e. (SubRing ` (PwSer1 ` R ) ) )
7	1, 2	ply1val 19564	. . 3 |- P = ( (PwSer1 ` R ) ↾s ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) )
8	7	subrgring 18783	. 2 |- ( ( Base ` ( 1o mPoly R ) ) e. (SubRing ` (PwSer1 ` R ) ) -> P e. Ring )
9	6, 8	syl 17	1 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   Basecbs 15857   Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776   mPoly cmpl 19353  PwSer₁cps1 19545  Poly₁cpl1 19547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552

This theorem is referenced by:  coe1z  19633  coe1add  19634  coe1subfv  19636  ply1moncl  19641  coe1pwmul  19649  ply1sclf  19655  ply1scl0  19660  ply1scl1  19662  ply1coefsupp  19665  ply1coe  19666  cply1coe0bi  19670  coe1fzgsumdlem  19671  gsumsmonply1  19673  gsummoncoe1  19674  lply1binom  19676  lply1binomsc  19677  evls1sca  19688  evls1gsumadd  19689  evl1expd  19709  evl1gsumdlem  19720  evl1scvarpw  19727  evl1scvarpwval  19728  evl1gsummon  19729  pmatring  20498  pmatlmod  20499  pmat0op  20500  pmat1op  20501  pmat1ovd  20502  1pmatscmul  20507  cpmatacl  20521  cpmatinvcl  20522  cpmatmcllem  20523  cpmatmcl  20524  mat2pmatbas  20531  mat2pmatghm  20535  mat2pmatmul  20536  mat2pmat1  20537  mat2pmatmhm  20538  mat2pmatrhm  20539  mat2pmatlin  20540  mat2pmatscmxcl  20545  m2pmfzgsumcl  20553  decpmatmullem  20576  pmatcollpw1  20581  pmatcollpw2lem  20582  pmatcollpw2  20583  monmatcollpw  20584  pmatcollpwlem  20585  pmatcollpw  20586  pmatcollpwfi  20587  pmatcollpw3fi1lem1  20591  pmatcollpwscmatlem1  20594  pmatcollpwscmatlem2  20595  pm2mpcl  20602  idpm2idmp  20606  mply1topmatcllem  20608  mply1topmatcl  20610  mp2pm2mplem2  20612  mp2pm2mplem4  20614  mp2pm2mp  20616  pm2mpghm  20621  pm2mpmhmlem2  20624  pm2mpmhm  20625  pm2mprhm  20626  pm2mprngiso  20627  monmat2matmon  20629  pm2mp  20630  chmatcl  20633  chmatval  20634  chpmat0d  20639  chpmat1dlem  20640  chpmat1d  20641  chpdmatlem0  20642  chpdmatlem2  20644  chpdmatlem3  20645  chpscmat  20647  chpscmatgsumbin  20649  chpscmatgsummon  20650  chp0mat  20651  chpidmat  20652  chmaidscmat  20653  chfacfscmulcl  20662  chfacfscmul0  20663  cpmadugsumlemB  20679  cpmadugsumlemC  20680  cpmadugsumlemF  20681  deg1addle2  23862  deg1add  23863  deg1suble  23867  deg1sub  23868  deg1sublt  23870  deg1mul2  23874  deg1mul3  23875  deg1mul3le  23876  deg1pw  23880  ply1nz  23881  ply1domn  23883  ply1divmo  23895  ply1divex  23896  uc1pmon1p  23911  r1pcl  23917  r1pid  23919  dvdsq1p  23920  dvdsr1p  23921  ply1remlem  23922  ply1rem  23923  ig1peu  23931  ig1pval2  23933  ig1pdvds  23936  ig1prsp  23937  ply1lpir  23938  plypf1  23968  lgsqrlem2  25072  lgsqrlem3  25073  lgsqrlem4  25074  hbtlem2  37694  hbtlem4  37696  hbtlem5  37698  hbtlem6  37699  hbt  37700  idomrootle  37773  ply1sclrmsm  42171  ply1mulgsumlem4  42177  ply1mulgsum  42178  linply1  42181