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Theorem cotrcltrcl 38017
Description: The transitive closure is idempotent. (Contributed by RP, 16-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
cotrcltrcl |- ( t+ o. t+ ) = t+
Proof of Theorem cotrcltrcl
Dummy variables a b c d i j k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrcl3 38012 . 2 |- t+ = ( a e. _V |-> U_ i e. NN ( a ^r i ) )
2 dftrcl3 38012 . 2 |- t+ = ( b e. _V |-> U_ j e. NN ( b ^r j ) )
3 dftrcl3 38012 . 2 |- t+ = ( c e. _V |-> U_ k e. NN ( c ^r k ) )
4 nnex 11026 . 2 |- NN e. _V
5 unidm 3756 . . 3 |- ( NN u. NN ) = NN
65eqcomi 2631 . 2 |- NN = ( NN u. NN )
7 1ex 10035 . . . . . 6 |- 1 e. _V
8 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( i = 1 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) )
97, 8iunxsn 4603 . . . . 5 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 )
10 ovex 6678 . . . . . . . 8 |- ( d ^r j ) e. _V
114, 10iunex 7147 . . . . . . 7 |- U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V
12 relexp1g 13766 . . . . . . 7 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ j e. NN ( d ^r j )
14 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( d ^r j ) = ( d ^r k ) )
1514cbviunv 4559 . . . . . 6 |- U_ j e. NN ( d ^r j ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
1613, 15eqtri 2644 . . . . 5 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
179, 16eqtri 2644 . . . 4 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
1817eqcomi 2631 . . 3 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
19 1nn 11031 . . . . 5 |- 1 e. NN
20 snssi 4339 . . . . 5 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
2119, 20ax-mp 5 . . . 4 |- { 1 } C_ NN
22 iunss1 4532 . . . 4 |- ( { 1 } C_ NN -> U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. NN ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
2321, 22ax-mp 5 . . 3 |- U_ i e. { 1 } ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ i e. NN ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
2418, 23eqsstri 3635 . 2 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) C_ U_ i e. NN ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i )
25 iunss 4561 . . . 4 |- ( U_ i e. NN ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) <-> A. i e. NN ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) )
26 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) )
2726sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) <-> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
28 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) )
2928sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) <-> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
30 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) )
3130sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) <-> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
32 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( x = i -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) = ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) )
3332sseq1d 3632 . . . . 5 |- ( x = i -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r x ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) <-> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
3416eqimssi 3659 . . . . 5 |- ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r 1 ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
35 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> y e. NN )
36 relexpsucnnr 13765 . . . . . . . 8 |- ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) e. _V /\ y e. NN ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) )
3711, 35, 36sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) = ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) )
38 coss1 5277 . . . . . . . . 9 |- ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. NN ( d ^r k ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) )
3938adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) C_ ( U_ k e. NN ( d ^r k ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) )
4015coeq2i 5282 . . . . . . . . 9 |- ( U_ k e. NN ( d ^r k ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) = ( U_ k e. NN ( d ^r k ) o. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
41 trclfvcotrg 13757 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t+ ` d ) o. ( t+ ` d ) ) C_ ( t+ ` d )
42 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- d e. _V
43 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = d -> ( c ^r k ) = ( d ^r k ) )
4443iuneq2d 4547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = d -> U_ k e. NN ( c ^r k ) = U_ k e. NN ( d ^r k ) )
45 ovex 6678 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d ^r k ) e. _V
464, 45iunex 7147 . . . . . . . . . . . . 13 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) e. _V
4744, 3, 46fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. _V -> ( t+ ` d ) = U_ k e. NN ( d ^r k ) )
4842, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( t+ ` d ) = U_ k e. NN ( d ^r k )
4948, 48coeq12i 5285 . . . . . . . . . 10 |- ( ( t+ ` d ) o. ( t+ ` d ) ) = ( U_ k e. NN ( d ^r k ) o. U_ k e. NN ( d ^r k ) )
5041, 49, 483sstr3i 3643 . . . . . . . . 9 |- ( U_ k e. NN ( d ^r k ) o. U_ k e. NN ( d ^r k ) ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
5140, 50eqsstri 3635 . . . . . . . 8 |- ( U_ k e. NN ( d ^r k ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
5239, 51syl6ss 3615 . . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) o. U_ j e. NN ( d ^r j ) ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) )
5337, 52eqsstrd 3639 . . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) )
5453ex 450 . . . . 5 |- ( y e. NN -> ( ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r y ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r ( y + 1 ) ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) ) )
5527, 29, 31, 33, 34, 54nnind 11038 . . . 4 |- ( i e. NN -> ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k ) )
5625, 55mprgbir 2927 . . 3 |- U_ i e. NN ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. NN ( d ^r k )
57 iuneq1 4534 . . . 4 |- ( NN = ( NN u. NN ) -> U_ k e. NN ( d ^r k ) = U_ k e. ( NN u. NN ) ( d ^r k ) )
586, 57ax-mp 5 . . 3 |- U_ k e. NN ( d ^r k ) = U_ k e. ( NN u. NN ) ( d ^r k )
5956, 58sseqtri 3637 . 2 |- U_ i e. NN ( U_ j e. NN ( d ^r j ) ^r i ) C_ U_ k e. ( NN u. NN ) ( d ^r k )
601, 2, 3, 4, 4, 6, 24, 24, 59comptiunov2i 37998 1 |- ( t+ o. t+ ) = t+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   U_ciun 4520   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   t+ctcl 13724   ^r crelexp 13760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-trcl 13726  df-relexp 13761
This theorem is referenced by:  cortrcltrcl  38032  cotrclrtrcl  38036
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