cshwshashlem1 - Metamath Proof Explorer

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Theorem cshwshashlem1 15802

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number not consisting of identical symbols by at least one position (and not by as many positions as the length of the word), the result will not be the word itself. (Contributed by AV, 19-May-2018.) (Revised by AV, 8-Jun-2018.) (Revised by AV, 10-Nov-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cshwshash.0	Word $/\$

**Assertion**
Ref	Expression
cshwshashlem1	$/\$ ..^ $/\$ ..^ cyclShift

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem cshwshashlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2795	. . . . . . 7
2	1	rexbii 3041	. . . . . 6 ..^ ..^
3		rexnal 2995	. . . . . 6 ..^ ..^
4	2, 3	bitri 264	. . . . 5 ..^ ..^
5		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift
6		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
7		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
8	6, 7	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
9	8	sseli 3599	. . . . . . . . . . . 12 ..^
10	9	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift
11		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift cyclShift
12		cshwshash.0	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$
13		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ Word
14		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
16		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$
18		cshwsidrepswmod0 15801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ repeatS
19	13, 15, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 Word $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ repeatS
20	19	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ cyclShift $\/$ repeatS
21	20	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ repeatS
22		olc 399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$
23	22	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$
24		fzofzim 12514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ ..^
25		zmodidfzoimp 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ..^
26		eqtr2 2642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
27	26	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ Word $/\$
28	27	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Word $/\$
29	25, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ..^ Word $/\$
30	24, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ Word $/\$
31	30	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word $/\$
32	31	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word $/\$
33	32	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word $/\$ $/\$
34	33	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift
35	34	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift
36	35	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift
37	36	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$
38	37	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$
39	23, 38	pm2.61ine 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$
40	39	orcd 407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ repeatS
41		df-3or 1038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $\/$ repeatS $\/$ $\/$ repeatS
42	40, 41	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ repeatS
43	42	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ repeatS
44		3mix3 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 repeatS $\/$ $\/$ repeatS
45	44	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 repeatS Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ repeatS
46	43, 45	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ repeatS Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ repeatS
47	21, 46	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ repeatS
48	12, 47	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ repeatS
49		3mix1 1230	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$ ..^
50	49	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ ..^
51		3mix2 1231	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $\/$ ..^
52	51	a1d 25	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ ..^
53		repswsymballbi 13527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word repeatS ..^
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word $/\$ repeatS ..^
55	12, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 repeatS ..^
56	55	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ cyclShift repeatS ..^
57	56	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ repeatS ..^
58	57	3mix3d 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ repeatS $\/$ $\/$ ..^
59	58	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 repeatS $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ ..^
60	50, 52, 59	3jaoi 1391	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $\/$ repeatS $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ ..^
61	48, 60	mpcom 38	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ ..^
62	5, 10, 11, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift $\/$ $\/$ ..^
63		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ $/\$
64		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . 16
65		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
66		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
67	65, 66	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
69	68	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ ..^
70	63, 69	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
71	70	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^
72	71	com12 32	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^
73		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74		ltne 10134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
75	73, 74	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
76		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
78		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
79	77, 78	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
80	76, 79	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
81	75, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ..^
82	81	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ ..^
83	63, 82	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
84	83	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^
86		ax-1 6	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^
87	72, 85, 86	3jaoi 1391	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ ..^ $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^
88	62, 87	mpcom 38	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^
89	88	pm2.24d 147	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ cyclShift ..^ cyclShift
90	89	exp31 630	. . . . . . 7 ..^ cyclShift ..^ cyclShift
91	90	com34 91	. . . . . 6 ..^ ..^ cyclShift cyclShift
92	91	com23 86	. . . . 5 ..^ ..^ cyclShift cyclShift
93	4, 92	syl5bi 232	. . . 4 ..^ ..^ cyclShift cyclShift
94	93	3imp 1256	. . 3 $/\$ ..^ $/\$ ..^ cyclShift cyclShift
95	94	com12 32	. 2 cyclShift $/\$ ..^ $/\$ ..^ cyclShift
96		ax-1 6	. 2 cyclShift $/\$ ..^ $/\$ ..^ cyclShift
97	95, 96	pm2.61ine 2877	1 $/\$ ..^ $/\$ ..^ cyclShift

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

clt 10074

cn 11020

cz 11377

cfz 12326 ..^cfzo 12465

cmo 12668

chash 13117 Word cword 13291 repeatS creps 13298 cyclShift ccsh 13534

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-substr 13303 df-reps 13306 df-csh 13535 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-phi 15471

This theorem is referenced by: cshwshashlem2 15803

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