Theorem cshwshashlem2 15803

Description: If cyclically shifting a word of length being a prime number and not of identical symbols by different numbers of positions, the resulting words are different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-May-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cshwshash.0	|- ( ph -> ( W e. Word V /\ ( # ` W ) e. Prime ) )

Assertion

Ref	Expression
cshwshashlem2	|- ( ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) -> ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( W cyclShift L ) =/= ( W cyclShift K ) ) )

Distinct variable groups:   i, L   i, V   i, W   ph, i   i, K

Proof of Theorem cshwshashlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) -> ( ( W cyclShift L ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = ( ( W cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) )
2	1	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) -> ( ( W cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = ( ( W cyclShift L ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) )
3	2	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( ( W cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = ( ( W cyclShift L ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) )
4		cshwshash.0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( W e. Word V /\ ( # ` W ) e. Prime ) )
5	4	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. Word V )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) -> W e. Word V )
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) -> W e. Word V )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> W e. Word V )
9		elfzofz 12485	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
10	9	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
11	10	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
12		elfzofz 12485	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
13		fznn0sub2 12446	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
17		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) )
18		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) ) -> K e. RR )
20		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` W ) e. NN -> ( # ` W ) e. RR )
21		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
22		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( # ` W ) e. RR /\ L e. RR ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. RR )
23	20, 21, 22	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. RR )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. RR )
25	19, 24	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR )
26	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( # ` W ) e. RR )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) ) -> ( # ` W ) e. RR )
28	25, 27	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ZZ -> ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) ) )
30		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> K e. ZZ )
31	29, 30	syl11 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) ) )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) ) )
33	17, 32	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) ) )
34	33	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) )
35	34	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) )
36		fzonmapblen 12513	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) < ( # ` W ) )
37		ltle 10126	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) -> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) < ( # ` W ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) ) )
38	35, 36, 37	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) )
39	38	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) )
40		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ ( K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) ) ) -> W e. Word V )
41		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) -> K e. ZZ )
42	41	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) ) -> K e. ZZ )
43	42	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ ( K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) ) ) -> K e. ZZ )
44		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ )
45	44	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ )
46	45	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ ( K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ )
47		2cshw 13559	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ K e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ ) -> ( ( W cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = ( W cyclShift ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
48	40, 43, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ ( K e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ( 0 ... ( # ` W ) ) /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) <_ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = ( W cyclShift ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
49	8, 11, 16, 39, 48	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( ( W cyclShift K ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = ( W cyclShift ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
50	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) )
51		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) -> L e. ZZ )
52		2cshwid 13560	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ZZ ) -> ( ( W cyclShift L ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = W )
53	51, 52	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ L e. ( 0 ... ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift L ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = W )
54	7, 50, 53	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( ( W cyclShift L ) cyclShift ( ( # ` W ) - L ) ) = W )
55	3, 49, 54	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( W cyclShift ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) = W )
56		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ph )
57		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) )
58		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) )
59	17, 58	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) )
60		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) e. NN -> ( # ` W ) e. ZZ )
61		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. NN0 -> L e. ZZ )
62		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( # ` W ) e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ )
63	60, 61, 62	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ )
64	63	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) ) -> ( K e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ ) )
65	64	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ ) )
66		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ ( ( # ` W ) - L ) e. ZZ ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ZZ )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ K e. ZZ ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ZZ )
68	59, 30, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ZZ )
69	68	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ZZ )
70		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( K e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ K < ( # ` W ) ) )
71		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
72	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) ) -> K e. RR )
73	23	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. RR )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) ) -> ( ( # ` W ) - L ) e. RR )
75		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) ) -> 0 <_ K )
76		posdif 10521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. RR /\ ( # ` W ) e. RR ) -> ( L < ( # ` W ) <-> 0 < ( ( # ` W ) - L ) ) )
77	21, 20, 76	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( L < ( # ` W ) <-> 0 < ( ( # ` W ) - L ) ) )
78	77	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> 0 < ( ( # ` W ) - L ) )
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) ) -> 0 < ( ( # ` W ) - L ) )
80	72, 74, 75, 79	addgegt0d 10601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) /\ ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) )
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) -> ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
82	71, 81	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN0 -> ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
83	82	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ K < ( # ` W ) ) -> ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
84	70, 83	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ L < ( # ` W ) ) -> ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
86	17, 85	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
87	86	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) )
88	87	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) )
89		elnnz 11387	. . . . . . . . 9 |- ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. NN <-> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ZZ /\ 0 < ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) )
90	69, 88, 89	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. NN )
91	17	simp2bi 1077	. . . . . . . . 9 |- ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
92	91	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( # ` W ) e. NN )
93		elfzo1 12517	. . . . . . . 8 |- ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ( 1..^ ( # ` W ) ) <-> ( ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. NN /\ ( # ` W ) e. NN /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) < ( # ` W ) ) )
94	90, 92, 36, 93	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ( 1..^ ( # ` W ) ) )
95	94	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ( 1..^ ( # ` W ) ) )
96	4	cshwshashlem1 15802	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) /\ ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) e. ( 1..^ ( # ` W ) ) ) -> ( W cyclShift ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) =/= W )
97	56, 57, 95, 96	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( W cyclShift ( K + ( ( # ` W ) - L ) ) ) =/= W )
98	55, 97	pm2.21ddne 2878	. . . 4 |- ( ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) /\ ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) ) -> ( W cyclShift L ) =/= ( W cyclShift K ) )
99	98	ex 450	. . 3 |- ( ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) /\ ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) ) -> ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( W cyclShift L ) =/= ( W cyclShift K ) ) )
100	99	ex 450	. 2 |- ( ( W cyclShift L ) = ( W cyclShift K ) -> ( ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) -> ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( W cyclShift L ) =/= ( W cyclShift K ) ) ) )
101		2a1 28	. 2 |- ( ( W cyclShift L ) =/= ( W cyclShift K ) -> ( ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) -> ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( W cyclShift L ) =/= ( W cyclShift K ) ) ) )
102	100, 101	pm2.61ine 2877	1 |- ( ( ph /\ E. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( W ` i ) =/= ( W ` 0 ) ) -> ( ( L e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K e. ( 0..^ ( # ` W ) ) /\ K < L ) -> ( W cyclShift L ) =/= ( W cyclShift K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-reps 13306  df-csh 13535  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471

This theorem is referenced by:  cshwshashlem3  15804