Theorem deg1mul3 23875

Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a nonzero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1mul3.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1mul3.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1mul3.e	|- E = (RLReg ` R )
deg1mul3.b	|- B = ( Base ` P )
deg1mul3.t	|- .x. = ( .r ` P )
deg1mul3.a	|- A = (algSc ` P )

Assertion

Ref	Expression
deg1mul3	|- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( D ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) = ( D ` G ) )

Proof of Theorem deg1mul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1mul3.e	. . . . . . . 8 |- E = (RLReg ` R )
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	rrgss 19292	. . . . . . 7 |- E C_ ( Base ` R )
4	3	sseli 3599	. . . . . 6 |- ( F e. E -> F e. ( Base ` R ) )
5		deg1mul3.p	. . . . . . 7 |- P = (Poly1 ` R )
6		deg1mul3.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` P )
7		deg1mul3.a	. . . . . . 7 |- A = (algSc ` P )
8		deg1mul3.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .r ` P )
9		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
10	5, 6, 2, 7, 8, 9	coe1sclmul 19652	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ F e. ( Base ` R ) /\ G e. B ) -> (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) = ( ( NN0 X. { F } ) oF ( .r ` R ) (coe1 ` G ) ) )
11	4, 10	syl3an2 1360	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) = ( ( NN0 X. { F } ) oF ( .r ` R ) (coe1 ` G ) ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) supp ( 0g ` R ) ) = ( ( ( NN0 X. { F } ) oF ( .r ` R ) (coe1 ` G ) ) supp ( 0g ` R ) ) )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14		nn0ex 11298	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
15	14	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> NN0 e. _V )
16		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> R e. Ring )
17		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> F e. E )
18		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (coe1 ` G ) = (coe1 ` G )
19	18, 6, 5, 2	coe1f 19581	. . . . . 6 |- ( G e. B -> (coe1 ` G ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> (coe1 ` G ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
21	1, 2, 9, 13, 15, 16, 17, 20	rrgsupp 19291	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( ( ( NN0 X. { F } ) oF ( .r ` R ) (coe1 ` G ) ) supp ( 0g ` R ) ) = ( (coe1 ` G ) supp ( 0g ` R ) ) )
22	12, 21	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) supp ( 0g ` R ) ) = ( (coe1 ` G ) supp ( 0g ` R ) ) )
23	22	supeq1d 8352	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> sup ( ( (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) supp ( 0g ` R ) ) , RR* , < ) = sup ( ( (coe1 ` G ) supp ( 0g ` R ) ) , RR* , < ) )
24	5	ply1ring 19618	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
25	24	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> P e. Ring )
26	5, 7, 2, 6	ply1sclf 19655	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> A : ( Base ` R ) --> B )
27	26	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> A : ( Base ` R ) --> B )
28	4	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> F e. ( Base ` R ) )
29	27, 28	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( A ` F ) e. B )
30		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> G e. B )
31	6, 8	ringcl 18561	. . . 4 |- ( ( P e. Ring /\ ( A ` F ) e. B /\ G e. B ) -> ( ( A ` F ) .x. G ) e. B )
32	25, 29, 30, 31	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( ( A ` F ) .x. G ) e. B )
33		deg1mul3.d	. . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
34		eqid 2622	. . . 4 |- (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) = (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) )
35	33, 5, 6, 13, 34	deg1val 23856	. . 3 |- ( ( ( A ` F ) .x. G ) e. B -> ( D ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) = sup ( ( (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) supp ( 0g ` R ) ) , RR* , < ) )
36	32, 35	syl 17	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( D ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) = sup ( ( (coe1 ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) supp ( 0g ` R ) ) , RR* , < ) )
37	33, 5, 6, 13, 18	deg1val 23856	. . 3 |- ( G e. B -> ( D ` G ) = sup ( ( (coe1 ` G ) supp ( 0g ` R ) ) , RR* , < ) )
38	37	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( D ` G ) = sup ( ( (coe1 ` G ) supp ( 0g ` R ) ) , RR* , < ) )
39	23, 36, 38	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( R e. Ring /\ F e. E /\ G e. B ) -> ( D ` ( ( A ` F ) .x. G ) ) = ( D ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547  RLRegcrlreg 19279  algSccascl 19311  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  23911  ig1peu  23931