Theorem deg1submon1p 23912

Description: The difference of two monic polynomials of the same degree is a polynomial of lesser degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1submon1p.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1submon1p.o	|- O = (Monic1p ` R )
deg1submon1p.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1submon1p.m	|- .- = ( -g ` P )
deg1submon1p.r	|- ( ph -> R e. Ring )
deg1submon1p.f1	|- ( ph -> F e. O )
deg1submon1p.f2	|- ( ph -> ( D ` F ) = X )
deg1submon1p.g1	|- ( ph -> G e. O )
deg1submon1p.g2	|- ( ph -> ( D ` G ) = X )

Assertion

Ref	Expression
deg1submon1p	|- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) < X )

Proof of Theorem deg1submon1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1submon1p.d	. 2 |- D = ( deg1 ` R )
2		deg1submon1p.p	. 2 |- P = (Poly1 ` R )
3		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
4		deg1submon1p.m	. 2 |- .- = ( -g ` P )
5		deg1submon1p.f2	. . 3 |- ( ph -> ( D ` F ) = X )
6		deg1submon1p.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
7		deg1submon1p.f1	. . . . 5 |- ( ph -> F e. O )
8		deg1submon1p.o	. . . . . 6 |- O = (Monic1p ` R )
9	2, 3, 8	mon1pcl 23904	. . . . 5 |- ( F e. O -> F e. ( Base ` P ) )
10	7, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( Base ` P ) )
11		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
12	2, 11, 8	mon1pn0 23906	. . . . 5 |- ( F e. O -> F =/= ( 0g ` P ) )
13	7, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F =/= ( 0g ` P ) )
14	1, 2, 11, 3	deg1nn0cl 23848	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. ( Base ` P ) /\ F =/= ( 0g ` P ) ) -> ( D ` F ) e. NN0 )
15	6, 10, 13, 14	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( D ` F ) e. NN0 )
16	5, 15	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> X e. NN0 )
17	16	nn0red 11352	. . . 4 |- ( ph -> X e. RR )
18	17	leidd 10594	. . 3 |- ( ph -> X <_ X )
19	5, 18	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( D ` F ) <_ X )
20		deg1submon1p.g1	. . 3 |- ( ph -> G e. O )
21	2, 3, 8	mon1pcl 23904	. . 3 |- ( G e. O -> G e. ( Base ` P ) )
22	20, 21	syl 17	. 2 |- ( ph -> G e. ( Base ` P ) )
23		deg1submon1p.g2	. . 3 |- ( ph -> ( D ` G ) = X )
24	23, 18	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( D ` G ) <_ X )
25		eqid 2622	. 2 |- (coe1 ` F ) = (coe1 ` F )
26		eqid 2622	. 2 |- (coe1 ` G ) = (coe1 ` G )
27	5	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) = ( (coe1 ` F ) ` X ) )
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
29	1, 28, 8	mon1pldg 23909	. . . . 5 |- ( F e. O -> ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) = ( 1r ` R ) )
30	7, 29	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` ( D ` F ) ) = ( 1r ` R ) )
31	27, 30	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` X ) = ( 1r ` R ) )
32	1, 28, 8	mon1pldg 23909	. . . 4 |- ( G e. O -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) = ( 1r ` R ) )
33	20, 32	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) = ( 1r ` R ) )
34	23	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ph -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) = ( (coe1 ` G ) ` X ) )
35	31, 33, 34	3eqtr2d 2662	. 2 |- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` X ) = ( (coe1 ` G ) ` X ) )
36	1, 2, 3, 4, 16, 6, 10, 19, 22, 24, 25, 26, 35	deg1sublt 23870	1 |- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) < X )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   0gc0g 16100   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  Monic_1pcmn1 23885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-mon1 23890

This theorem is referenced by:  ig1peu  23931