Theorem deg1sublt 23870

Description: Subtraction of two polynomials limited to the same degree with the same leading coefficient gives a polynomial with a smaller degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1sublt.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1sublt.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1sublt.b	|- B = ( Base ` P )
deg1sublt.m	|- .- = ( -g ` P )
deg1sublt.l	|- ( ph -> L e. NN0 )
deg1sublt.r	|- ( ph -> R e. Ring )
deg1sublt.fb	|- ( ph -> F e. B )
deg1sublt.fd	|- ( ph -> ( D ` F ) <_ L )
deg1sublt.gb	|- ( ph -> G e. B )
deg1sublt.gd	|- ( ph -> ( D ` G ) <_ L )
deg1sublt.a	|- A = (coe1 ` F )
deg1sublt.c	|- C = (coe1 ` G )
deg1sublt.eq	|- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` L ) = ( (coe1 ` G ) ` L ) )

Assertion

Ref	Expression
deg1sublt	|- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) < L )

Proof of Theorem deg1sublt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1sublt.d	. . . 4 |- D = ( deg1 ` R )
2		deg1sublt.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
4		deg1sublt.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
6		eqid 2622	. . . 4 |- (coe1 ` ( F .- G ) ) = (coe1 ` ( F .- G ) )
7		deg1sublt.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
8	2	ply1ring 19618	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
9		ringgrp 18552	. . . . . 6 |- ( P e. Ring -> P e. Grp )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Grp )
11		deg1sublt.fb	. . . . 5 |- ( ph -> F e. B )
12		deg1sublt.gb	. . . . 5 |- ( ph -> G e. B )
13		deg1sublt.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` P )
14	4, 13	grpsubcl 17495	. . . . 5 |- ( ( P e. Grp /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .- G ) e. B )
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( F .- G ) e. B )
16		deg1sublt.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. NN0 )
17		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( -g ` R ) = ( -g ` R )
18	2, 4, 13, 17	coe1subfv 19636	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ L e. NN0 ) -> ( (coe1 ` ( F .- G ) ) ` L ) = ( ( (coe1 ` F ) ` L ) ( -g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` L ) ) )
19	7, 11, 12, 16, 18	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ph -> ( (coe1 ` ( F .- G ) ) ` L ) = ( ( (coe1 ` F ) ` L ) ( -g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` L ) ) )
20		deg1sublt.eq	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (coe1 ` F ) ` L ) = ( (coe1 ` G ) ` L ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (coe1 ` F ) ` L ) ( -g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` L ) ) = ( ( (coe1 ` G ) ` L ) ( -g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` L ) ) )
22		ringgrp 18552	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
23	7, 22	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Grp )
24		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (coe1 ` G ) = (coe1 ` G )
25		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
26	24, 4, 2, 25	coe1f 19581	. . . . . . . 8 |- ( G e. B -> (coe1 ` G ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
27	12, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> (coe1 ` G ) : NN0 --> ( Base ` R ) )
28	27, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (coe1 ` G ) ` L ) e. ( Base ` R ) )
29	25, 5, 17	grpsubid 17499	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( (coe1 ` G ) ` L ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( (coe1 ` G ) ` L ) ( -g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` L ) ) = ( 0g ` R ) )
30	23, 28, 29	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( (coe1 ` G ) ` L ) ( -g ` R ) ( (coe1 ` G ) ` L ) ) = ( 0g ` R ) )
31	19, 21, 30	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( (coe1 ` ( F .- G ) ) ` L ) = ( 0g ` R ) )
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 31	deg1ldgn 23853	. . 3 |- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) =/= L )
33	32	neneqd 2799	. 2 |- ( ph -> -. ( D ` ( F .- G ) ) = L )
34	1, 2, 4	deg1xrcl 23842	. . . . 5 |- ( ( F .- G ) e. B -> ( D ` ( F .- G ) ) e. RR* )
35	15, 34	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) e. RR* )
36	1, 2, 4	deg1xrcl 23842	. . . . . 6 |- ( G e. B -> ( D ` G ) e. RR* )
37	12, 36	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` G ) e. RR* )
38	1, 2, 4	deg1xrcl 23842	. . . . . 6 |- ( F e. B -> ( D ` F ) e. RR* )
39	11, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` F ) e. RR* )
40	37, 39	ifcld 4131	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) e. RR* )
41	16	nn0red 11352	. . . . 5 |- ( ph -> L e. RR )
42	41	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> L e. RR* )
43	2, 1, 7, 4, 13, 11, 12	deg1suble 23867	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) <_ if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) )
44		deg1sublt.fd	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` F ) <_ L )
45		deg1sublt.gd	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` G ) <_ L )
46		xrmaxle 12014	. . . . . 6 |- ( ( ( D ` F ) e. RR* /\ ( D ` G ) e. RR* /\ L e. RR* ) -> ( if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) <_ L <-> ( ( D ` F ) <_ L /\ ( D ` G ) <_ L ) ) )
47	39, 37, 42, 46	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) <_ L <-> ( ( D ` F ) <_ L /\ ( D ` G ) <_ L ) ) )
48	44, 45, 47	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( D ` F ) <_ ( D ` G ) , ( D ` G ) , ( D ` F ) ) <_ L )
49	35, 40, 42, 43, 48	xrletrd 11993	. . 3 |- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) <_ L )
50		xrleloe 11977	. . . 4 |- ( ( ( D ` ( F .- G ) ) e. RR* /\ L e. RR* ) -> ( ( D ` ( F .- G ) ) <_ L <-> ( ( D ` ( F .- G ) ) < L \/ ( D ` ( F .- G ) ) = L ) ) )
51	35, 42, 50	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( D ` ( F .- G ) ) <_ L <-> ( ( D ` ( F .- G ) ) < L \/ ( D ` ( F .- G ) ) = L ) ) )
52	49, 51	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( ( D ` ( F .- G ) ) < L \/ ( D ` ( F .- G ) ) = L ) )
53		orel2 398	. 2 |- ( -. ( D ` ( F .- G ) ) = L -> ( ( ( D ` ( F .- G ) ) < L \/ ( D ` ( F .- G ) ) = L ) -> ( D ` ( F .- G ) ) < L ) )
54	33, 52, 53	sylc 65	1 |- ( ph -> ( D ` ( F .- G ) ) < L )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   Ringcrg 18547  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  ply1divex  23896  deg1submon1p  23912  hbtlem5  37698