Theorem dihatexv2 36628

Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihatexv2.a	|- A = ( Atoms ` K )
dihatexv2.h	|- H = ( LHyp ` K )
dihatexv2.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dihatexv2.v	|- V = ( Base ` U )
dihatexv2.o	|- .0. = ( 0g ` U )
dihatexv2.n	|- N = ( LSpan ` U )
dihatexv2.i	|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
dihatexv2.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )

Assertion

Ref	Expression
dihatexv2	|- ( ph -> ( Q e. A <-> E. x e. ( V \ { .0. } ) Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, I   x, K   x, N   x, Q   x, V   x, W   ph, x

Allowed substitution hints:   U( x)   H( x)   .0. ( x)

Proof of Theorem dihatexv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
2		dihatexv2.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
3	1, 2	atbase 34576	. . 3 |- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
4	3	anim2i 593	. 2 |- ( ( ph /\ Q e. A ) -> ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) )
5		dihatexv2.k	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( x e. ( V \ { .0. } ) -> x e. V )
8		dihatexv2.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
9		dihatexv2.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
10		dihatexv2.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` U )
11		dihatexv2.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` U )
12		dihatexv2.i	. . . . . . . 8 |- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
13	8, 9, 10, 11, 12	dihlsprn 36620	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ x e. V ) -> ( N ` { x } ) e. ran I )
14	5, 7, 13	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( N ` { x } ) e. ran I )
15	1, 8, 12	dihcnvcl 36560	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` { x } ) e. ran I ) -> ( `' I ` ( N ` { x } ) ) e. ( Base ` K ) )
16	6, 14, 15	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( `' I ` ( N ` { x } ) ) e. ( Base ` K ) )
17		eleq1a 2696	. . . . 5 |- ( ( `' I ` ( N ` { x } ) ) e. ( Base ` K ) -> ( Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) )
18	16, 17	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) )
19	18	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ph -> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) )
20	19	imdistani 726	. 2 |- ( ( ph /\ E. x e. ( V \ { .0. } ) Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) -> ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) )
21		dihatexv2.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` U )
22	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
24	1, 2, 8, 9, 10, 21, 11, 12, 22, 23	dihatexv 36627	. . 3 |- ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( Q e. A <-> E. x e. ( V \ { .0. } ) ( I ` Q ) = ( N ` { x } ) ) )
25	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
26	22, 7, 13	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( N ` { x } ) e. ran I )
27	8, 12	dihcnvid2 36562	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( N ` { x } ) e. ran I ) -> ( I ` ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) = ( N ` { x } ) )
28	25, 26, 27	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( I ` ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) = ( N ` { x } ) )
29	28	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( I ` Q ) = ( I ` ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) <-> ( I ` Q ) = ( N ` { x } ) ) )
30		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
31	25, 26, 15	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( `' I ` ( N ` { x } ) ) e. ( Base ` K ) )
32	1, 8, 12	dih11 36554	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Q e. ( Base ` K ) /\ ( `' I ` ( N ` { x } ) ) e. ( Base ` K ) ) -> ( ( I ` Q ) = ( I ` ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) <-> Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) )
33	25, 30, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( I ` Q ) = ( I ` ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) <-> Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) )
34	29, 33	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ x e. ( V \ { .0. } ) ) -> ( ( I ` Q ) = ( N ` { x } ) <-> Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) )
35	34	rexbidva 3049	. . 3 |- ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( E. x e. ( V \ { .0. } ) ( I ` Q ) = ( N ` { x } ) <-> E. x e. ( V \ { .0. } ) Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) )
36	24, 35	bitrd 268	. 2 |- ( ( ph /\ Q e. ( Base ` K ) ) -> ( Q e. A <-> E. x e. ( V \ { .0. } ) Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) )
37	4, 20, 36	pm5.21nd 941	1 |- ( ph -> ( Q e. A <-> E. x e. ( V \ { .0. } ) Q = ( `' I ` ( N ` { x } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   `'ccnv 5113   ran crn 5115   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LSpanclspn 18971   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   DIsoHcdih 36517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518

This theorem is referenced by:  djhcvat42  36704