Theorem divalglem8 15123

Description: Lemma for divalg 15126. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem8.1	|- N e. ZZ
divalglem8.2	|- D e. ZZ
divalglem8.3	|- D =/= 0
divalglem8.4	|- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }

Assertion

Ref	Expression
divalglem8	|- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ ( X < ( abs ` D ) /\ Y < ( abs ` D ) ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) -> X = Y ) ) )

Distinct variable groups:   D, r   N, r

Allowed substitution hints:   S( r)   K( r)   X( r)   Y( r)

Proof of Theorem divalglem8

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem8.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }
2		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { r e. NN0 | D || ( N - r ) } C_ NN0
3	1, 2	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- S C_ NN0
4		nn0sscn 11297	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 C_ CC
5	3, 4	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- S C_ CC
6	5	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. S -> Y e. CC )
7	5	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. S -> X e. CC )
8		divalglem8.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D e. ZZ
9		divalglem8.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- D =/= 0
10		nnabscl 14065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( abs ` D ) e. NN )
11	8, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` D ) e. NN
12	11	nnzi 11401	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` D ) e. ZZ
13		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ ( abs ` D ) e. ZZ ) -> ( K x. ( abs ` D ) ) e. ZZ )
14	12, 13	mpan2 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( abs ` D ) ) e. ZZ )
15	14	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> ( K x. ( abs ` D ) ) e. CC )
16		subadd 10284	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. CC /\ X e. CC /\ ( K x. ( abs ` D ) ) e. CC ) -> ( ( Y - X ) = ( K x. ( abs ` D ) ) <-> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) = Y ) )
17	6, 7, 15, 16	syl3an 1368	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. S /\ X e. S /\ K e. ZZ ) -> ( ( Y - X ) = ( K x. ( abs ` D ) ) <-> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) = Y ) )
18	17	3com12 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. S /\ Y e. S /\ K e. ZZ ) -> ( ( Y - X ) = ( K x. ( abs ` D ) ) <-> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) = Y ) )
19		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( Y - X ) = ( K x. ( abs ` D ) ) <-> ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) )
20		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) = Y <-> Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr3g 302	. . . . . . 7 |- ( ( X e. S /\ Y e. S /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) <-> Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) ) )
22	21	3adant1r 1319	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ Y e. S /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) <-> Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) ) )
23	22	3adant2r 1321	. . . . 5 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) <-> Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) ) )
24		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Y -> ( z < ( abs ` D ) <-> Y < ( abs ` D ) ) )
25		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Y -> ( z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) <-> Y e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
26	24, 25	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Y -> ( ( z < ( abs ` D ) -> z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) <-> ( Y < ( abs ` D ) -> Y e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) ) )
27	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. S -> z e. NN0 )
28		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN0 <-> ( z e. ZZ /\ 0 <_ z ) )
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. S -> ( z e. ZZ /\ 0 <_ z ) )
30	29	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. S /\ z < ( abs ` D ) ) -> ( ( z e. ZZ /\ 0 <_ z ) /\ z < ( abs ` D ) ) )
31		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ZZ /\ 0 <_ z /\ z < ( abs ` D ) ) <-> ( ( z e. ZZ /\ 0 <_ z ) /\ z < ( abs ` D ) ) )
32	30, 31	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. S /\ z < ( abs ` D ) ) -> ( z e. ZZ /\ 0 <_ z /\ z < ( abs ` D ) ) )
33		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
34		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( abs ` D ) e. ZZ ) -> ( z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) <-> ( z e. ZZ /\ 0 <_ z /\ z < ( abs ` D ) ) ) )
35	33, 12, 34	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) <-> ( z e. ZZ /\ 0 <_ z /\ z < ( abs ` D ) ) )
36	32, 35	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. S /\ z < ( abs ` D ) ) -> z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) )
37	36	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. S -> ( z < ( abs ` D ) -> z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
38	26, 37	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. S -> ( Y < ( abs ` D ) -> Y e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
39		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) -> ( Y e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) <-> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
40	39	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) -> ( Y e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) -> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
41	38, 40	sylan9 689	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. S /\ Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) ) -> ( Y < ( abs ` D ) -> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
42	41	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) -> ( Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) -> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
43	42	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) -> ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
44		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = X -> ( z < ( abs ` D ) <-> X < ( abs ` D ) ) )
45		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = X -> ( z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) <-> X e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
46	44, 45	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = X -> ( ( z < ( abs ` D ) -> z e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) <-> ( X < ( abs ` D ) -> X e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) ) )
47	46, 37	vtoclga 3272	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. S -> ( X < ( abs ` D ) -> X e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
48	47	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) -> X e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) )
49	8, 9	divalglem7 15122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( K =/= 0 -> -. ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
50	48, 49	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( K =/= 0 -> -. ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
51	50	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( K =/= 0 -> -. ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) ) )
52	51	con2d 129	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) e. ( 0 ... ( ( abs ` D ) - 1 ) ) -> -. K =/= 0 ) )
53	43, 52	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) -> -. K =/= 0 ) )
54		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( K =/= 0 <-> -. K = 0 )
55	54	con2bii 347	. . . . . 6 |- ( K = 0 <-> -. K =/= 0 )
56	53, 55	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( Y = ( X + ( K x. ( abs ` D ) ) ) -> K = 0 ) )
57	23, 56	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) -> K = 0 ) )
58		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( K = 0 -> ( K x. ( abs ` D ) ) = ( 0 x. ( abs ` D ) ) )
59	11	nncni 11030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` D ) e. CC
60	59	mul02i 10225	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 x. ( abs ` D ) ) = 0
61	58, 60	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( K = 0 -> ( K x. ( abs ` D ) ) = 0 )
62	61	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( K = 0 -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) <-> 0 = ( Y - X ) ) )
63	62	biimpac 503	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) /\ K = 0 ) -> 0 = ( Y - X ) )
64		subeq0 10307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( Y - X ) = 0 <-> Y = X ) )
65	6, 7, 64	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( Y - X ) = 0 <-> Y = X ) )
66		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y - X ) = 0 <-> 0 = ( Y - X ) )
67		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( Y = X <-> X = Y )
68	65, 66, 67	3bitr3g 302	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. S /\ Y e. S ) -> ( 0 = ( Y - X ) <-> X = Y ) )
69	63, 68	syl5ib 234	. . . . . . 7 |- ( ( X e. S /\ Y e. S ) -> ( ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) /\ K = 0 ) -> X = Y ) )
70	69	ad2ant2r 783	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) ) -> ( ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) /\ K = 0 ) -> X = Y ) )
71	70	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) /\ K = 0 ) -> X = Y ) )
72	71	expd 452	. . . 4 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) -> ( K = 0 -> X = Y ) ) )
73	57, 72	mpdd 43	. . 3 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) -> X = Y ) )
74	73	3expia 1267	. 2 |- ( ( ( X e. S /\ X < ( abs ` D ) ) /\ ( Y e. S /\ Y < ( abs ` D ) ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) -> X = Y ) ) )
75	74	an4s 869	1 |- ( ( ( X e. S /\ Y e. S ) /\ ( X < ( abs ` D ) /\ Y < ( abs ` D ) ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K x. ( abs ` D ) ) = ( Y - X ) -> X = Y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   abscabs 13974   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  divalglem9  15124