Theorem divalglem9 15124

Description: Lemma for divalg 15126. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.) (Revised by AV, 2-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglem8.1	|- N e. ZZ
divalglem8.2	|- D e. ZZ
divalglem8.3	|- D =/= 0
divalglem8.4	|- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }
divalglem9.5	|- R = inf ( S , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
divalglem9	|- E! x e. S x < ( abs ` D )

Distinct variable groups:   D, r, x   N, r, x   x, S   x, R

Allowed substitution hints:   R( r)   S( r)

Proof of Theorem divalglem9

Dummy variables k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglem9.5	. . . 4 |- R = inf ( S , RR , < )
2		divalglem8.1	. . . . 5 |- N e. ZZ
3		divalglem8.2	. . . . 5 |- D e. ZZ
4		divalglem8.3	. . . . 5 |- D =/= 0
5		divalglem8.4	. . . . 5 |- S = { r e. NN0 | D || ( N - r ) }
6	2, 3, 4, 5	divalglem2 15118	. . . 4 |- inf ( S , RR , < ) e. S
7	1, 6	eqeltri 2697	. . 3 |- R e. S
8	2, 3, 4, 5, 1	divalglem5 15120	. . . 4 |- ( 0 <_ R /\ R < ( abs ` D ) )
9	8	simpri 478	. . 3 |- R < ( abs ` D )
10		breq1 4656	. . . 4 |- ( x = R -> ( x < ( abs ` D ) <-> R < ( abs ` D ) ) )
11	10	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( R e. S /\ R < ( abs ` D ) ) -> E. x e. S x < ( abs ` D ) )
12	7, 9, 11	mp2an 708	. 2 |- E. x e. S x < ( abs ` D )
13		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = x -> ( N - r ) = ( N - x ) )
14	13	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = x -> ( D || ( N - r ) <-> D || ( N - x ) ) )
15	14, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. S <-> ( x e. NN0 /\ D || ( N - x ) ) )
16	15	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S -> x e. NN0 )
17	16	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S -> x e. ZZ )
18		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = y -> ( N - r ) = ( N - y ) )
19	18	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = y -> ( D || ( N - r ) <-> D || ( N - y ) ) )
20	19, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S <-> ( y e. NN0 /\ D || ( N - y ) ) )
21	20	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. S -> y e. NN0 )
22	21	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> y e. ZZ )
23		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( N - x ) e. ZZ )
24	2, 23	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( N - x ) e. ZZ )
25		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( N - y ) e. ZZ )
26	2, 25	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> ( N - y ) e. ZZ )
27	24, 26	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) )
28	17, 22, 27	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) )
29	15	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. S -> D || ( N - x ) )
30	20	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. S -> D || ( N - y ) )
31	29, 30	anim12i 590	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) )
32		dvds2sub 15016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) -> ( ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) ) )
33	3, 32	mp3an1 1411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N - x ) e. ZZ /\ ( N - y ) e. ZZ ) -> ( ( D || ( N - x ) /\ D || ( N - y ) ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) ) )
34	28, 31, 33	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
35		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
36		zcn 11382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ZZ -> y e. CC )
37	2	zrei 11383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- N e. RR
38	37	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- N e. CC
39	38	subidi 10352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N - N ) = 0
40	39	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( 0 - ( x - y ) )
41		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. CC
42		subsub2 10309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
43	41, 42	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
44	40, 43	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( 0 + ( y - x ) ) )
45		sub4 10326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. CC /\ N e. CC ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
46	38, 38, 45	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - N ) - ( x - y ) ) = ( ( N - x ) - ( N - y ) ) )
47		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ x e. CC ) -> ( y - x ) e. CC )
48	47	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( y - x ) e. CC )
49	48	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( 0 + ( y - x ) ) = ( y - x ) )
50	44, 46, 49	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
51	35, 36, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
52	17, 22, 51	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( N - x ) - ( N - y ) ) = ( y - x ) )
53	52	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( ( N - x ) - ( N - y ) ) <-> D || ( y - x ) ) )
54	34, 53	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> D || ( y - x ) )
55		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( y - x ) e. ZZ )
56	55	ancoms 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( y - x ) e. ZZ )
57		absdvdsb 15000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ZZ /\ ( y - x ) e. ZZ ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
58	3, 56, 57	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
59	17, 22, 58	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( D || ( y - x ) <-> ( abs ` D ) || ( y - x ) ) )
60	54, 59	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( abs ` D ) || ( y - x ) )
61		nnabscl 14065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( abs ` D ) e. NN )
62	3, 4, 61	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` D ) e. NN
63	62	nnzi 11401	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` D ) e. ZZ
64		divides 14985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` D ) e. ZZ /\ ( y - x ) e. ZZ ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
65	63, 56, 64	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
66	17, 22, 65	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( abs ` D ) || ( y - x ) <-> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) ) )
67	60, 66	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) )
68	67	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) )
69	2, 3, 4, 5	divalglem8 15123	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) -> x = y ) ) )
70	69	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. ( abs ` D ) ) = ( y - x ) -> x = y ) )
71	68, 70	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( x e. S /\ y e. S ) /\ ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) ) -> x = y )
72	71	ex 450	. . 3 |- ( ( x e. S /\ y e. S ) -> ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y ) )
73	72	rgen2a 2977	. 2 |- A. x e. S A. y e. S ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y )
74		breq1 4656	. . 3 |- ( x = y -> ( x < ( abs ` D ) <-> y < ( abs ` D ) ) )
75	74	reu4 3400	. 2 |- ( E! x e. S x < ( abs ` D ) <-> ( E. x e. S x < ( abs ` D ) /\ A. x e. S A. y e. S ( ( x < ( abs ` D ) /\ y < ( abs ` D ) ) -> x = y ) ) )
76	12, 73, 75	mpbir2an 955	1 |- E! x e. S x < ( abs ` D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   abscabs 13974   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  divalglem10  15125