Theorem dnibndlem10 32477

Description: Lemma for dnibnd 32481. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem10.1	|- ( ph -> A e. RR )
dnibndlem10.2	|- ( ph -> B e. RR )
dnibndlem10.3	|- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) <_ ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem10	|- ( ph -> 1 <_ ( B - A ) )

Proof of Theorem dnibndlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. 2 |- ( ph -> 1 e. RR )
2		dnibndlem10.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
3		halfre 11246	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 2 ) e. RR
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
5	2, 4	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
6		reflcl 12597	. . . . . . 7 |- ( ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
8	7, 4	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
9		resubcl 10345	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
11		dnibndlem10.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
12	11, 4	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
13		reflcl 12597	. . . . . 6 |- ( ( A + ( 1 / 2 ) ) e. RR -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
15	14, 4	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
16	10, 15	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) )
17		resubcl 10345	. . 3 |- ( ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
18	16, 17	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
19	2, 11	resubcld 10458	. 2 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
20	14	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
21		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
22	4	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
23	20, 21, 22	addsubassd 10412	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) = ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 - ( 1 / 2 ) ) ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 - ( 1 / 2 ) ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
25	21, 22	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
26	20, 25, 22	pnpcand 10429	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 - ( 1 / 2 ) ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 - ( 1 / 2 ) ) - ( 1 / 2 ) ) )
27	21, 22, 22	subsub4d 10423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 - ( 1 / 2 ) ) - ( 1 / 2 ) ) = ( 2 - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
28		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
29		2halves 11260	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. CC -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = 1 )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 - ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( 2 - 1 ) )
33		2m1e1 11135	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
34	33	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 - 1 ) = 1 )
35	27, 32, 34	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 - ( 1 / 2 ) ) - ( 1 / 2 ) ) = 1 )
36	24, 26, 35	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) = 1 )
37	36	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> 1 = ( ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
38		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. RR )
40	14, 39	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) e. RR )
41	40, 4	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
42		resubcl 10345	. . . . 5 |- ( ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
43	41, 42	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
44		dnibndlem10.3	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) <_ ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) )
45	40, 7, 4, 44	lesub1dd 10643	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) <_ ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) )
46	43, 10, 15, 45	lesub1dd 10643	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 2 ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) <_ ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
47	37, 46	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> 1 <_ ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
48		flle 12600	. . . . 5 |- ( ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) <_ ( B + ( 1 / 2 ) ) )
49	5, 48	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) <_ ( B + ( 1 / 2 ) ) )
50	7, 4, 2	lesubaddd 10624	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) <_ B <-> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) <_ ( B + ( 1 / 2 ) ) ) )
51	49, 50	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) <_ B )
52		fllep1 12602	. . . . . 6 |- ( ( A + ( 1 / 2 ) ) e. RR -> ( A + ( 1 / 2 ) ) <_ ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) )
53	12, 52	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + ( 1 / 2 ) ) <_ ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) )
54	20, 22, 22	addassd 10062	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
55	31	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) )
56	54, 55	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) = ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) )
57	56	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) = ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
58	53, 57	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( A + ( 1 / 2 ) ) <_ ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
59	11, 15, 4	leadd1d 10621	. . . 4 |- ( ph -> ( A <_ ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) <-> ( A + ( 1 / 2 ) ) <_ ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
60	58, 59	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A <_ ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
61	10, 11, 2, 15, 51, 60	le2subd 10647	. 2 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) ) <_ ( B - A ) )
62	1, 18, 19, 47, 61	letrd 10194	1 |- ( ph -> 1 <_ ( B - A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  dnibndlem12  32479