Theorem reflcl 12597

Description: The floor (greatest integer) function is real. (Contributed by NM, 15-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
reflcl	|- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )

Proof of Theorem reflcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flcl 12596	. 2 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	zred 11482	1 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ` cfv 5888   RRcr 9935   |_cfl 12591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593

This theorem is referenced by:  fllep1  12602  fraclt1  12603  fracle1  12604  fracge0  12605  fllt  12607  flflp1  12608  flid  12609  flltnz  12612  flval3  12616  refldivcl  12624  fladdz  12626  flzadd  12627  flmulnn0  12628  flltdivnn0lt  12634  ceige  12644  ceim1l  12646  flleceil  12652  fleqceilz  12653  intfracq  12658  fldiv  12659  uzsup  12662  modvalr  12671  modfrac  12683  flmod  12684  intfrac  12685  modmulnn  12688  modcyc  12705  modadd1  12707  moddi  12738  modirr  12741  digit2  12997  digit1  12998  facavg  13088  rddif  14080  absrdbnd  14081  rexuzre  14092  o1fsum  14545  flo1  14586  isprm7  15420  opnmbllem  23369  mbfi1fseqlem1  23482  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  mbfi1fseqlem6  23487  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem2  23790  dvfsumlem3  23791  dvfsumlem4  23792  dvfsum2  23797  harmonicbnd4  24737  chtfl  24875  chpfl  24876  ppieq0  24902  ppiltx  24903  ppiub  24929  chpeq0  24933  chtub  24937  logfac2  24942  chpub  24945  logfacubnd  24946  logfaclbnd  24947  lgsquadlem1  25105  chtppilimlem1  25162  vmadivsum  25171  dchrisumlema  25177  dchrisumlem1  25178  dchrisumlem3  25180  dchrmusum2  25183  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem3  25208  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  selberglem2  25235  pntrlog2bndlem6  25272  pntpbnd2  25276  pntlemg  25287  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  minvecolem4  27736  dnicld1  32462  dnibndlem2  32469  dnibndlem3  32470  dnibndlem4  32471  dnibndlem5  32472  dnibndlem7  32474  dnibndlem8  32475  dnibndlem9  32476  dnibndlem10  32477  dnibndlem11  32478  dnibndlem13  32480  dnibnd  32481  knoppcnlem4  32486  ltflcei  33397  leceifl  33398  opnmbllem0  33445  itg2addnclem2  33462  itg2addnclem3  33463  hashnzfzclim  38521  lefldiveq  39505  fourierdlem4  40328  fourierdlem26  40350  fourierdlem47  40370  fourierdlem65  40388  flsubz  42312  dignn0flhalflem2  42410