Theorem dnibndlem9 32476

Description: Lemma for dnibnd 32481. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem9.1	|- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
dnibndlem9.2	|- ( ph -> A e. RR )
dnibndlem9.3	|- ( ph -> B e. RR )
dnibndlem9.4	|- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem9	|- ( ph -> ( abs ` ( ( T ` B ) - ( T ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   T( x)

Proof of Theorem dnibndlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem9.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	dnicld1 32462	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) e. RR )
3	2	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) e. CC )
4		dnibndlem9.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
5	4	dnicld1 32462	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) e. RR )
6	5	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) e. CC )
7	3, 6	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) e. CC )
8	7	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) e. RR )
9		halfre 11246	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 2 ) e. RR
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
11	10, 2	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) e. RR ) )
12		resubcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) e. RR )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) e. RR )
14	10, 5	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) e. RR ) )
15		resubcl 10345	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) e. RR )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) e. RR )
17	13, 16	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) e. RR )
18	1	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
19	1, 10	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
20		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
23	10	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
24	22, 23	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
25	18, 24	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
26	4, 10	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
27		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A + ( 1 / 2 ) ) e. RR -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
29	28	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
30	29, 23	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
31	4	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
32	30, 31	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) e. CC )
33	25, 32	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) e. CC )
34	33	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) ) e. RR )
35	4, 1	dnibndlem6 32473	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) )
36	21, 10	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
37		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR )
39	1, 38	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B e. RR /\ ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR ) )
40		resubcl 10345	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) e. RR ) -> ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
42	28, 10	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
43	42, 4	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ A e. RR ) )
44		resubcl 10345	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) e. RR )
45	43, 44	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) e. RR )
46	1	dnibndlem7 32474	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) <_ ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
47	4	dnibndlem8 32475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) <_ ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) )
48	13, 16, 41, 45, 46, 47	le2addd 10646	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) )
49	41, 45	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) e. RR )
50		dnibndlem4 32471	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> 0 <_ ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
51	1, 50	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
52		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. RR )
53		dnibndlem5 32472	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> 0 < ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) )
54	4, 53	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) )
55	52, 45, 54	ltled 10185	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) )
56	41, 45, 51, 55	addge0d 10603	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) )
57	49, 56	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) ) = ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) )
58	57	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) = ( abs ` ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) ) )
59	48, 58	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) ) )
60	8, 17, 34, 35, 59	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) ) )
61		dnibndlem9.1	. . . . 5 |- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
62		dnibndlem9.4	. . . . 5 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + 1 ) )
63	61, 4, 1, 62	dnibndlem3 32470	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( abs ` ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) ) )
64	63	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( B - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) + ( 1 / 2 ) ) - A ) ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) )
65	60, 64	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )
66	61, 4, 1	dnibndlem1 32468	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( T ` B ) - ( T ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) <-> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) ) )
67	65, 66	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( T ` B ) - ( T ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   |_cfl 12591   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  32480