Theorem dnibndlem2 32469

Description: Lemma for dnibnd 32481. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnibndlem2.1	|- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
dnibndlem2.2	|- ( ph -> A e. RR )
dnibndlem2.3	|- ( ph -> B e. RR )
dnibndlem2.4	|- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) = ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dnibndlem2	|- ( ph -> ( abs ` ( ( T ` B ) - ( T ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   T( x)

Proof of Theorem dnibndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnibndlem2.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
2		halfre 11246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
4	1, 3	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
5		readdcl 10019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
7		reflcl 12597	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B + ( 1 / 2 ) ) e. RR -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
9	8	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
10	1	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
11	9, 10	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) e. CC )
12	11	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) e. RR )
13	12	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) e. CC )
14		dnibndlem2.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) = ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) )
15	14, 9	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
16		dnibndlem2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
17	16	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. CC )
18	15, 17	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) e. CC )
19	18	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) e. RR )
20	19	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) e. CC )
21	13, 20	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) e. CC )
22	21	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) e. RR )
23	11, 18	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) e. CC )
24	23	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) e. RR )
25	10, 17	subcld 10392	. . . 4 |- ( ph -> ( B - A ) e. CC )
26	25	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) e. RR )
27	11, 18	abs2difabsd 14198	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) )
28	9, 17, 10	nnncan1d 10426	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) = ( B - A ) )
29	28	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B - A ) = ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( abs ` ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) )
31	14	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) = ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) = ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) = ( abs ` ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) )
34	18, 11	abssubd 14192	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) - ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) ) = ( abs ` ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) )
35	30, 33, 34	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) = ( abs ` ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) )
36	26	leidd 10594	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( B - A ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )
37	35, 36	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) - ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )
38	22, 24, 26, 27, 37	letrd 10194	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )
39		dnibndlem2.1	. . 3 |- T = ( x e. RR |-> ( abs ` ( ( |_ ` ( x + ( 1 / 2 ) ) ) - x ) ) )
40	39, 16, 1	dnibndlem1 32468	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( T ` B ) - ( T ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) <-> ( abs ` ( ( abs ` ( ( |_ ` ( B + ( 1 / 2 ) ) ) - B ) ) - ( abs ` ( ( |_ ` ( A + ( 1 / 2 ) ) ) - A ) ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) ) )
41	38, 40	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( T ` B ) - ( T ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   |_cfl 12591   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  dnibndlem13  32480