Theorem dochshpsat 36743

Description: A hyperplane is closed iff its orthocomplement is an atom. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpsat.h	|- H = ( LHyp ` K )
dochshpsat.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochshpsat.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochshpsat.a	|- A = (LSAtoms ` U )
dochshpsat.y	|- Y = (LSHyp ` U )
dochshpsat.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochshpsat.x	|- ( ph -> X e. Y )

Assertion

Ref	Expression
dochshpsat	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X <-> ( ._|_ ` X ) e. A ) )

Proof of Theorem dochshpsat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
2		dochshpsat.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Y )
3	2	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) -> X e. Y )
4	1, 3	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. Y )
5		dochshpsat.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6		dochshpsat.o	. . . . 5 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
7		dochshpsat.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
9		dochshpsat.a	. . . . 5 |- A = (LSAtoms ` U )
10		dochshpsat.y	. . . . 5 |- Y = (LSHyp ` U )
11		dochshpsat.k	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
12	5, 7, 11	dvhlmod 36399	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. LMod )
13	8, 10, 12, 2	lshplss 34268	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( LSubSp ` U ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
15	14, 8	lssss 18937	. . . . . . 7 |- ( X e. ( LSubSp ` U ) -> X C_ ( Base ` U ) )
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> X C_ ( Base ` U ) )
17	5, 7, 14, 8, 6	dochlss 36643	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
18	11, 16, 17	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ._|_ ` X ) e. ( LSubSp ` U ) )
19	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 18	dochsatshpb 36741	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ._|_ ` X ) e. A <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. Y ) )
20	19	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) -> ( ( ._|_ ` X ) e. A <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. Y ) )
21	4, 20	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) -> ( ._|_ ` X ) e. A )
22		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` U ) = ( 0g ` U )
23	12	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> U e. LMod )
24		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( ._|_ ` X ) e. A )
25	22, 9, 23, 24	lsatn0 34286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( ._|_ ` X ) =/= { ( 0g ` U ) } )
26	25	neneqd 2799	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> -. ( ._|_ ` X ) = { ( 0g ` U ) } )
27	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
28	5, 7, 6, 14, 22	doch0 36647	. . . . . . 7 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) = ( Base ` U ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) = ( Base ` U ) )
30	29	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( Base ` U ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( DIsoH ` K ) ` W ) = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
32	5, 31, 7, 14, 6	dochcl 36642	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ ( Base ` U ) ) -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
33	11, 16, 32	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ._|_ ` X ) e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
34	5, 31, 7, 22	dih0rn 36573	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> { ( 0g ` U ) } e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
35	11, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( 0g ` U ) } e. ran ( ( DIsoH ` K ) ` W ) )
36	5, 31, 6, 11, 33, 35	doch11 36662	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) <-> ( ._|_ ` X ) = { ( 0g ` U ) } ) )
37	36	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( ._|_ ` { ( 0g ` U ) } ) <-> ( ._|_ ` X ) = { ( 0g ` U ) } ) )
38	30, 37	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( Base ` U ) <-> ( ._|_ ` X ) = { ( 0g ` U ) } ) )
39	26, 38	mtbird 315	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> -. ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( Base ` U ) )
40	5, 6, 7, 14, 10, 11, 2	dochshpncl 36673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( Base ` U ) ) )
41	40	necon1bbid 2833	. . . 4 |- ( ph -> ( -. ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( Base ` U ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) )
42	41	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( -. ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( Base ` U ) <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X ) )
43	39, 42	mpbid 222	. 2 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` X ) e. A ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
44	21, 43	impbida 877	1 |- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X <-> ( ._|_ ` X ) e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   ran crn 5115   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932  LSAtomsclsa 34261  LSHypclsh 34262   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   DIsoHcdih 36517   ocHcoch 36636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tgrp 36031  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-dveca 36291  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637  df-djh 36684

This theorem is referenced by:  mapdordlem2  36926