Theorem dochshpncl 36673

Description: If a hyperplane is not closed, its closure equals the vector space. (Contributed by NM, 29-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochshpncl.h	|- H = ( LHyp ` K )
dochshpncl.o	|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
dochshpncl.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
dochshpncl.v	|- V = ( Base ` U )
dochshpncl.y	|- Y = (LSHyp ` U )
dochshpncl.k	|- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
dochshpncl.x	|- ( ph -> X e. Y )

Assertion

Ref	Expression
dochshpncl	|- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V ) )

Proof of Theorem dochshpncl

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochshpncl.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Y )
2		dochshpncl.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` U )
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSpan ` U ) = ( LSpan ` U )
4		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( LSSum ` U ) = ( LSSum ` U )
6		dochshpncl.y	. . . . . . 7 |- Y = (LSHyp ` U )
7		dochshpncl.h	. . . . . . . 8 |- H = ( LHyp ` K )
8		dochshpncl.u	. . . . . . . 8 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
9		dochshpncl.k	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10	7, 8, 9	dvhlmod 36399	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. LMod )
11	2, 3, 4, 5, 6, 10	islshpsm 34267	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. Y <-> ( X e. ( LSubSp ` U ) /\ X =/= V /\ E. v e. V ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) ) )
12	1, 11	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. ( LSubSp ` U ) /\ X =/= V /\ E. v e. V ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) )
13	12	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> E. v e. V ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V )
14	13	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) -> E. v e. V ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V )
15		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( ph /\ v e. V ) )
16	15	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V ) -> ( ph /\ v e. V ) )
17	16	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> ( ph /\ v e. V ) )
18	4, 6, 10, 1	lshplss 34268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. ( LSubSp ` U ) )
19	2, 4	lssss 18937	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. ( LSubSp ` U ) -> X C_ V )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X C_ V )
21		dochshpncl.o	. . . . . . . . . . 11 |- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
22	7, 8, 2, 21	dochocss 36655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
23	9, 20, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
25	24	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
26		simp1r 1086	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X )
27	26	necomd 2849	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> X =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
28		df-pss 3590	. . . . . . 7 |- ( X C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) <-> ( X C_ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) /\ X =/= ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ) )
29	25, 27, 28	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> X C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) )
30	7, 8, 2, 21	dochssv 36644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X C_ V ) -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
31	9, 20, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ._|_ ` X ) C_ V )
32	7, 8, 2, 21	dochssv 36644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V )
33	9, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V )
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V )
35	34	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ V )
36		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V )
37	35, 36	sseqtr4d 3642	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) )
38	9	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
39	7, 8, 38	dvhlvec 36398	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> U e. LVec )
40	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> X e. ( LSubSp ` U ) )
41	7, 8, 2, 4, 21	dochlss 36643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ._|_ ` X ) C_ V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
42	9, 31, 41	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) e. ( LSubSp ` U ) )
44		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> v e. V )
45	2, 4, 3, 5, 39, 40, 43, 44	lsmcv 19141	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. V ) /\ X C. ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) C_ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) )
46	17, 29, 37, 45	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) )
47	46, 36	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) /\ v e. V /\ ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V )
48	47	rexlimdv3a 3033	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) -> ( E. v e. V ( X ( LSSum ` U ) ( ( LSpan ` U ) ` { v } ) ) = V -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V ) )
49	14, 48	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V )
50		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V )
51	2, 6, 10, 1	lshpne 34269	. . . . 5 |- ( ph -> X =/= V )
52	51	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V ) -> X =/= V )
53	52	necomd 2849	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V ) -> V =/= X )
54	50, 53	eqnetrd 2861	. 2 |- ( ( ph /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X )
55	49, 54	impbida 877	1 |- ( ph -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) =/= X <-> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   LSSumclsm 18049   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LSHypclsh 34262   HLchlt 34637   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-undef 7399  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lsatoms 34263  df-lshyp 34264  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-llines 34784  df-lplanes 34785  df-lvols 34786  df-lines 34787  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391  df-trl 35446  df-tendo 36043  df-edring 36045  df-disoa 36318  df-dvech 36368  df-dib 36428  df-dic 36462  df-dih 36518  df-doch 36637

This theorem is referenced by:  dochkrshp  36675  dochshpsat  36743